高二数学上学期数学归纳法与数列综合(学生版).pdf

数学归纳法与数列综合

一、数学归纳法

1.定义与步骤

数学归纳法定义

一般地，证明一个正整数有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；

（2）（归纳递推）以时命题成立”为条件，推出“当时命题

也成立”.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.

对数学归纳法两个步骤的认识

（1）数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数，这个数就是要证明的命题对象的最小自

然数，这个自然数并不一定都是“”；

（2）数学归纳法的实质在于递推，所以从“”到“”的过程中，必须把归纳假设“”作为条件来

导出“”时的命题，在推导过程中，归纳假设至少要用一次.

经典例题

1.用数学归纳法证明

，

则从到时，左边所要添加的项是（）．

A.B.C.D.

2.用数学归纳法证明：时，第二步证明由“到

”时，左端增加的项数是（）．

A.B.C.D.

3.在数列中，且．

（1）求出，，．

（2）归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论．

1

4.已知数列，，，，，，其前项和为．

（1）计算，，．

（2）猜想的表达式，并给出证明．

巩固练习

1.用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到

时，不等式的左边（）．

A.增加了一项

B.增加了两项

C.增加了两项，又减少了一项

D.增加了一项，又减少了一项

2.已知数列满足，．

（1）计算，，，的值．

（2）根据以上计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

3.在数列中，，（，）．

2

（1）求，，．

（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

4.设数列满足，其前项和为，满足．

（1）求，，，的值．

（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．

2.用数学归纳法证明恒等式

应注意的问题

（1）明确初始值的取值并验证时等式成立；

（2）由证明时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.

经典例题

证明等式：．

巩固练习

证明：