平面几何经典难题及解答.doc

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经典难题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求证：CD＝GF．

A

A

F

G

C

E

B

O

D

2、已知：如图，P是正方形ABCD内一点，∠PAD＝∠PDA＝150．

APCD

A

P

C

D

B

D2C2B2A2D1C1B1CBDAA13、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1

D2

C2

B2

A2

D1

C1

B1

C

B

D

A

A1

求证：四边形A2B2C2D2

AN

A

N

F

E

C

D

M

B

求证：∠DEN＝∠F．

经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

·A

·

A

D

H

E

M

C

B

O

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

·GAO

·

G

A

O

D

B

E

C

Q

P

N

M

求证：AP＝AQ．（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

·O

·

O

Q

P

B

D

E

C

N

M

·

A

求证：AP＝AQ．（初二）

PCGFBQ

P

C

G

F

B

Q

A

D

E

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）

经典难题解答:

经典难题（一）

1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,

即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。

2.如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150

所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形

3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2

连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，

由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和

∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，

可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2

又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A

从而可得∠A2B2C2=900

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2

4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典难题（二）

1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD，

可得BH=BF,从而可得HD=DF，

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，

从而可得∠BOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

由于，

由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，

∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。

4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。

由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。

从而可得PQ==，从而得证。

经典难题（三）

1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.

由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠AEC=750。

又∠EFC=∠DFA=450+300=750.

可证：CE=CF。

2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，

可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，

又∠FAE=900+450+150=1500，

从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。

tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，

即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，

得到PA＝PF，得证。

经典难题（四）

顺时针旋转△ABP600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。