平面解析几何初步一轮复习-(有答案).docVIP

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第四章平面解析几何初步

第1课时直线的方程

基础过关

基础过关

1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．

斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．

2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．

3．直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

斜截式

点斜式

两点式

截距式

一般式

典型例题

典型例题

例1.已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①当m＝时，直线的倾斜角为45°．②当m＝时，直线在x轴上的截距为1．③当m＝时，直线在y轴上的截距为－．④当m＝时，直线与x轴平行．⑤当m＝时，直线过原点．

解：(1)－1⑵2或－⑶或－2⑷－⑸

变式训练1.（1）直线3y＋eq\r(3)x＋2=0的倾斜角是（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（）

A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，

（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－eq\r(7)，则l2的斜率是（）

A．eq\r(7)B．－C．D．－eq\r(7)

（4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．

解：（1）D．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－．

（2）C．提示：用斜率计算公式．

（3）A．提示：两直线的斜率互为相反数．

（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式

例2.已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.

求证：A、B、C三点在同一条直线上.

证明方法一∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），

∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC，

∴A、B、C三点共线.

方法二∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），

∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3，

∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线.

方法三∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），

∴=（2，4），=（1，2），∴=2.

又∵与有公共点B，∴A、B、C三点共线.

变式训练2.设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.

证明∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC，

∴，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2，

∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，

∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.

例3.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).

试求：的最大值与最小值.

解：由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB,

由已知可得：A（1，1），B（-1，5），

∴≤k≤8，

故的最大值为8，最小值为.

变式训练3.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为 （）

A. B. C. D.

答案D

例4.已知定点P(6,4)与直线l1:y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M．求使△OQM面积最小的直线l的方程．

解：Q点在l1:y＝4x上，可设Q(x0，4x0)，则PQ的方程为：

令y＝0，得：x＝(x01)，∴M(，0)

则tan＝＝＝1

k＝或k＝－，故所求直线l的方程为y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0

变式训练2.某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？

解如图所示，建立平面直角坐标系，

则A