高三数学上学期定点、定值问题-讲义（学生版）.pdf

定点、定值问题

一、定值问题

定值问题的核心动作是消元，步骤总结如下：

（1）设相关直线，相关点坐标、、、等；

（2）联立方程，消元后利用韦达定理得到与或与等的表达式；

（3）翻译研究对象，列出其关于前述变量（直线参数、点坐标等）的代数表达式；

（4）利用直线方程代换，消去、其中之一；

（5）代入韦达定理，进行最终的整理计算，判断结果是否为定值.

这里最终结果为定值的【形式】包括：

整式只余常数项，分式各项成比例，0值只需算分子，验证分母不为0.

1.单参数定值问题

【核心思路】在设相关直线和相关点时需要设未知参数，解题时一般尽量只设单个参数，其他未知

要素最好都用同一个参数表示.

例题讲解

斜率定值

1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，以点为圆心，以为半径的圆

与以点为圆心，以为半径的圆相交，且交点在椭圆上．设点，在中，

．

（1）求椭圆的方程．

（2）设过点的直线不经过点，且与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率

分别为，，求的值．

弦长定值

2.已知椭圆的离心率是，直线过的右焦点，

且与交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点．

（1）求椭圆的方程．

（2）

证明：为定值，并求此定值．

1

3.

如图，已知椭圆的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶

点作直线轴，点为直线上的动点（点与点不重合），点为椭圆右顶点，直线交椭

圆于点．

（1）求椭圆的方程．

（2）求证：．

（3）

试问：是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．

面积定值

4.已知为坐标原点，过点的直线与抛物线交于、两点，且

．

（1）求抛物线的方程．

（2）过点作直线交抛物线于两点，记，的面积分别为，，证明：

为定值．

5.已知抛物线经过点，其焦点为，准线为，过的直线交于，两

点，作于，作于，连结、．

（1）求．

（2）

设、、的面积分别为，，，问是否为定值，若是，求

出此定值；若不是，请说明理由．

小试牛刀

6.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程．

（2）过点的直线交于点，两点、交轴于点，点关于轴的对称点为，直线

交轴于点，试探究是否为定值？若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说

明理由．

7.