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空间向量与立体几何
学习目标
．空间向量的基础:了解空间向量的概念、基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标
表示、线性运算及其坐标表示，数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
．空间向量的应用:理解直线的方向向量与平面的法向量；掌握用向量语言表述线线、线面、面面
的垂直、平行关系；掌握用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．
考试数据
知识模块考点新高考卷模考频次（频率）
空间向量与立体几何空间向量与立体几何山东海南2020-2035（100%）
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质
试卷.
高频考点
．求异面直线所成的角；
．直线与平面所成的角；
．平面与平面所成的角．
难点
．动点、存在性等探索性问题；
．立体几何中的最值问题；
易错点
．夹角的范围问题；
．坐标中的计算问题；
一、空间向量的基础
1
1.空间向量的基本定理
．共线（平行）向量定理：对空间两个向量，，的充要条件是存在实数
，使得．
．共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯
一一对实数，，使得．
．空间向量分解定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的
有序实数组，，，使得．
2.空间向量数量积
．空间向量的数量积的定义：；
．空间向量的数量积的性质：
①；
②；
③；
④．
．空间向量的数量积的运算律：；
交换律：；
分配律：．
3.空间向量运算的坐标表示
．空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系，分别沿轴，轴，轴的正方向引单位向
量，，，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，由空间向量分解
定理，对于空间任一向量，存在唯一数组，使，那么有序数组
就叫做空间向量的坐标，即．
．空间向量线性运算及数量积的坐标表示：
设，，，，，，则
①；
②；
③；
④．
．空间向量平行和垂直的条件：
2
①，，；
②．
．向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：
设，
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