高三数学上学期空间向量与立体几何-讲义（学生版）.pdf

空间向量与立体几何

一、空间向量的基础

1.空间向量的基本定理

．共线（平行）向量定理：对空间两个向量，，的充要条件是存在实数

，使得．

．共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯

一一对实数，，使得．

．空间向量分解定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的

有序实数组，，，使得．

2.空间向量数量积

．空间向量的数量积的定义：；

．空间向量的数量积的性质：

①；

②；

③；

④．

．空间向量的数量积的运算律：；

交换律：；

分配律：．

3.空间向量运算的坐标表示

．空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系，分别沿轴，轴，轴的正方向引单位向

量，，，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，由空间向量分解

定理，对于空间任一向量，存在唯一数组，使，那么有序数组

就叫做空间向量的坐标，即．

．空间向量线性运算及数量积的坐标表示：

1

设，，，，，，则

①；

②；

③；

④．

．空间向量平行和垂直的条件：

①，，；

②．

．向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：

设，，则

①，

；

②；

③在空间直角坐标系中，点，，则，两点间的距离是

．

经典例题

1.假设地球是半径为的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正

方向为球心指向正北极方向，本初子午线（弧）是度经线，位于平面上，且交轴于点

，如图所示．已知赤道上一点位于东经度，则地球上位于东经度、

北纬度的空间点的坐标为（）．

A.

B.

2

C.

D.

巩固练习

2.如图，在四面体中，、分别在棱