高三数学下学期圆锥曲线之点差法-讲义（教师版）.pdf

圆锥曲线之点差法

一、课堂目标

1、熟练掌握点差法的应用步骤；

2、理解点差法相对于联立法有哪些优势。

【备注】

在联立法的基础上再学习点差法，是为了让学生在面对一些特殊题型时，能简化步骤和运

算量，同时训练学生一题多解的能力。

二、方法说明

联立法作为圆锥曲线题型的通法，方法固定，思路简单是它最大的优点，但同时，运算量偏大也是联立

法自始至终存在的问题，在应对跟弦的斜率和中点有关的题型时，我们找到了一种比联立法更为优化的

特殊武器，尤其是减少了运算量，可以帮我们在考试中节省更多时间，这种方法就是点差法。

【备注】

1、在方法类讲义用，用方法说明替代了高考链接，因为对于一个方法的使用是灵活的，方

法类的讲义在各版本试卷中是通用的，指向某套考卷意义不大，在这里重点为学生讲解这

种方法用在什么类型题中，在后续的类型题讲义中，我们会重点解释该类型题的高考链

接。

2、点差法主要应用于中点弦问题。

三、知识讲解

1.知识回顾

1

【备注】

提问环节，对圆锥曲线基础知识点选择性提问，如果学生对于这部分基础掌握有问题，老

师自行带学生回顾，本讲义难度有所提升，只做方法应用讲解，不单独做基础梳理。

2.方法提升

方法引入

1.已知椭圆，过点作直线，设与椭圆交于、两点，若为线段

的中点，求直线的方程．

【备注】

以基础类型题引入方法，这是一个常规的中点弦问题，解析中分别给出了联立法和点差法

两种方法，要结合对比着讲给学生听，重点让学生理解点差法在中点弦问题中的优势是简

化运算。

【答案】．

【解析】方法一：易知点在椭圆内，不妨设，，

设直线的斜率为，由，

作差得，

又∵，即，，

∴的斜率，的方程为，

即．

方法二：不妨设，，

易知直线的斜率存在，

设直线的方程为，代入中，

得，

2

∴，

判别式，

则，

∵的中点为，

∴，则，

∴直线的方程为，

即．

【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；中点弦问题

步骤归纳

点差法常规步骤（以椭圆为例，双曲线和抛物线同理）：

1、设直线与圆锥曲线交点，,，A和B的中点坐标为.

2、将交点坐标带入椭圆方程

3、两式做差得(显然前提是,)

4、灵活运用等式

注意：根据步骤三可知，使用点差法的前提是直线斜率存在，且斜率不为零，对于斜率不存在或者为零

的情