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圆锥曲线之定值问题【题集】
1.已知直线与椭圆:()相交于,两点,且线段的中点在
直线:上,椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知点,分别为椭圆的右顶点与上顶点,设为第三象限内一点且在椭圆上,直线
与轴交于点,直线与轴交于点,求证:四边形的面积为定值.
【答案】(1).
(2)见解析.
【解析】(1)将直线代入椭圆方程得,,
即,
设,,则,
即中点的横坐标是,纵坐标是.
由于线段的中点在直线:上,
则,又,则,
设右焦点关于直线的对称点为,
则,解得.
由于椭圆的右焦点关于直线的对称点在圆上,∴,
得,,,故椭圆方程为:.
(2)设(,),则,
又,,则直线的方程:,
令,得,,
同理可得,
四边形的面积
.
∴四边形的面积为定值.
【标注】【知识点】椭圆的标准方程;直线和椭圆的位置关系;定值问题(证明、探究)
1
2.已知动圆过点,且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;并求当圆的面积最小时的圆的方程.
(2)设动圆圆心的轨迹曲线,直线与圆和曲线交于四个不同点,从左到右依
次为,,,,且,是直线与曲线的交点,若直线,的倾斜角互补,求
的值.
【答案】(1)动圆圆心的轨迹方程为.圆的面积最小,圆的方程为.
(2)
.
【解析】(1)∵动圆圆心到点的距离等于到定直线的距离,
∴动圆圆心的轨迹为以为焦点,以直线为准线的抛物线,
∴动圆圆心的轨迹方程为.
圆心在原点时,圆的面积最小,此时圆的方程为.
(2),设,,,
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