2025年中考数学复习：几何最值专题一 将军饮马问题.docx

几何最值专题一将军饮马问题

知识与方法

一、线段之和最短问题的基本图形

一般来说，线段和最短的问题，往往是利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明，关键是找点关于线的对称点实现“折”转“直”.

1.两定点一动点——可化为：两点之间，线段最短已知:如图3-1-1,在直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P，使得AP+PB最小.

作法：如图3-1-2，作点A关于直线l的对称点A，连接AB，与直线l的交点就是点P.

2.一定点两动点——可化为：两点之间，线段最短已知:如图3-1-3,在∠MON内有一点P,在边ON,OM上分别找点Q,R,使得PQ+QR+RP最小.

作法:如图3-1-4,分别作点P关于射线ON,OM的对称点P,P,连接PP,与射线ON,OM的交点就是Q,R.

3.两定点两动点——可化为：两点之间，线段最短已知:如图3-1-5,在∠MON内有两点P,Q,在边OM,ON上分别找点R,S,使得PR+RS+SQ最小.

作法:如图3-1-6,作点P关于射线OM的对称点P,作点Q关于射线ON的对称点Q,连接PQ,与射线OM,ON的交点就是点R,S.

4.一定点两动点——可化为：垂线段最短

已知:如图3-1-7,在∠MON内有一点P,在边OM,ON上分别找点R,Q,使得PR+QR最小.

作法:如图3-1-8,作点P关于射线OM的对称点P,作PQ⊥ON,垂足为Q,PQ与射线OM的交点就是R.

二、线段之差最大问题的基本图形

已知，如图3-1-9，在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P,使得PB-PA最大.

作法：如图3-1-10，连接BA并延长，与直线l的交点就是点P.(三角形两边之差小于第三边)

典例精析

例1(两定点一动点)如图3-1-11，在直角坐标系中,点A(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点,点C的纵坐标为1,且CA=CB,在y轴上取一点D,连接AC,BC,AD,BD,使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为

答案：4+2

【简析】根据平行线的性质得到∠BAC=45°，得到∠C=90°,求得AC=BC=2,如图3-1-12,作B关于y轴的对称点E,连接AE交y轴于D，则此时四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+AE,过点E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论.

例2(一定点两动点)如图3-1-13,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点M为对角线AC上一动点,点N为边AB上一动点,连接BM,MN,则BM+MN的最小值为.

答案:16

【简析】同化异：如图3-1-14①，当动点个数超过一个时，我们解题时习惯先假设其中一动点为定点，如将点N看作定点，即作定点B关于动点M所在的直线AC的对称点即可.

折化直：如图②，因点N为动点且在边AB上运动，则本题转化为定点B到直线的最短距离问题,即当BN⊥AB时最短.即BM+MN的最小值为线段BN的长.

例3(一点两线)如图3-1-15,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=3,，若M，N分别是射线OA,OB上异于点O的动点，则

A.362

C.6D.3

答案：D

【简析】分别作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接CD分别交OA,OB于点M,N,连接OC,OD,如图3-1-16,利用轴对称的性质得MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=3∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH，然后利用含30°角的直角三角形三边的关系计算出CD即可.

例4(两点两线)如图3-1-17,在△ABC中,AC⊥BC,∠B=30°,E,F是线段AB的三等分点，P是线段BC上的动点，Q是线段AC上的动点.若AC=3，则四边形EPQF周长的最小值是

答案：8

【简析】如图3-1-18,作点E关于BC的对称点E,作点F关于AC的对称点F′,则EP+PQ+QF=EP+PQ+QF,连接EF交BC于点P,交AC于点Q，此时E

例5(线段之差)如图3-1-19,已知直线MN与MN异侧两点A,B,在MN上求作一点P,使PA-PB最大.说说你的理由.

【简析】如图3-1-20,

作法：①作点B关于直线MN的