2025年中考数学复习：截长补短问题.docx

截长补短问题

知识与方法

截长，指在长线段中截取一段等于已知线段，再设法证被截取线段的截余线段等于另外已知线段；补短，指将一条短线段延长，延长部分等于已知线段，再设法证延长后的线段等于另外已知线段.该类题目中常出现等腰三角形等基本图形，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，从而实现有关线段的和差倍分关系.

典例精析

例如图1-2-1,已知在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.求证:AB=AC+CD.

【简析】由于图形中的角平分线具有对称性，因此可考虑将AC通过翻折转移到AB上，实现截长法，也可将AB翻折到AC所在的直线上，实现补短法.

证法一(截长法)：

如图1-2-2,在AB上取一点E,使AE=AC,连接DE.

∵AE=AC,∠1=∠2,AD=AD,

∴△ACD≌△AED.

∴CD=DE,∠C=∠3.

∵∠C=2∠B,

∴∠3=2∠B=∠4+∠B.

∴∠4=∠B.∴DE=BE.

∴CD=BE.

∵AB=AE+BE,

∴AB=AC+CD.

证法二(补短法)：

如图1-2-3,延长AC到点E,使CE=CD,连接DE.

∵CE=CD,∴∠4=∠E.

∵∠3=∠4+∠E,

∴∠3=2∠E.

∵∠3=2∠B,∴∠E=∠B.

∵∠1=∠2,AD=AD,

∴△EAD≌△BAD.

∴AE=AB.

又AE=AC+CE,∴AB=AC+CD.

反思与总结

遇到角平分线或者垂线段，并且证明结论中的线段是角平分线或者垂线段一旁的三角形的一条边时，常借助相关图形(等腰三角形、角、线段、特殊四边形等)的对称思想，在另一旁构造此三角形的全等三角形，实现相关图形的翻折，化分散为集中，化一般图形为特殊图形.

进阶训练

1.如图1-2-4,已知OD平分∠AOB,DC⊥OA于点C,∠A=∠GBD.求证:AO+BO=2CO.

2.已知,如图1-2-5,在△ABC中,ABAC,∠1=∠2,P为AD上任意一点.求证:AB-ACPB-PC.

3.问题背景:在△ABC中,∠B=2∠C,点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB,BD,CD,AC中,某两条或某三条线段之间存在的数量关系.例如：在图1-2-6①中,当AB=AD时,可证得AB=DC.

任务要求:(1)当AD⊥BC时,如图②,求证:AB+BD=DC;

(2)如图③,当AD是∠BAC的平分线时,判断AB，BD，AC之间的数量关系，并证明你的结论.

4.【问题情境】

如图1-2-7①,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.

【探究展示】

(1)证明:AM=AD+MC.

(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明；若不成立，请说明理由.

【拓展延伸】

(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图②，探究展示(1)和(2)中的结论是否成立?请分别作出判断，不需要证明.

5.如图1-2-8,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD.EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.

(1)求证:BD⊥EC;

(2)若AB=1,求AE的长;

(3)如图②,连接AG,求证:EG--DG=2

答案

类型一

|进阶训练|

1.证明:如图,在线段AO上取一点E,使CE=AC,连接DE.

∵CD=CD,∠ACD=∠ECD=90°,

∴△ACD≌△ECD.∴∠A=∠CED.

∵∠A=∠GBD,

∴∠CED=∠GBD.

∴180°?∠CED=180°?∠GBD.

∴∠OED=∠OBD.

∵OD平分∠AOB,

∴∠AOD=∠BOD.

∵OD=OD,∴△OED≌△OBD.

∴OB=OE.

∴AO+BO=AO+OE=OE+2CE+OE=2(CE+OE)=2CO.

2.证法一(截长法):如图,在AB上截取AN=AC,连接PN.

在△APN和△APC中,

∵

∴△APN≌△APC.

∴PC=PN.

∵△BPN中,有PB-PNBN,

∴PB-PCAB-AC.

证法二(补短法):如图,延长AC至M,使AM=AB,连接PM.

在△ABP和△AMP中,

AB=AM,

∴△ABP≌△AMP.

∴PB=PM.

又在△PCM中,有CMPM-PC,

∴AB-ACPB-PC.

3.解:(1)证明:如图①,在DC上截取DM=BD,连接AM.

在△ABD与△AMD中,∵AD=AD,∠ADB=∠ADM=90°,BD=DM,∴△ABD≌△AMD(SAS).

∴AB=AM,∠B=∠AMB.

∵∠AMD=∠MAC+∠C,∠B=2∠C,

∴∠C=∠MAC.∴AM=MC.∴MC=AB,

∴AB+BD=DC.

(2)AB+BD=AC.证