2025年中考数学复习：与等腰 (边)三角形有关的线段相等问题.docx

与等腰(边)三角形有关的线段相等问题

知识与方法

1.角平分线+垂线构造等腰三角形

2.角平分线+平行线构造等腰三角形

3.等边三角形的三边相等

典例精析

例1如图1-1-35,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F.若AB=12,DF=2FC,则BC的长是.

答案：8

【简析】解法一：角平分线+平行→等腰三角形如图1-1-36,延长BC,EF交于点G.设CG=a,

由△CGF∽△DEF得DE=2a,∴AD=12+2a.由AD∥BC,EF平分∠BED得BE=BG.

∴12+2a+a=12

∴a=4

∴BC=12+2a=12+8

解法二：角平分线+双垂直

如图1-1-37,过点F作FG⊥BE于点G,连接BF.

设DE=a,等积法:SBEF=S四边形BCDE

∴a=8

解法三：角平分线+对称两边→全等

如图1-1-38，在AD的延长线上截取.EB

易得△BEF≌△BEF,∴BF=BF.

∴

解得a=8

∴BC=12+a=8

解法四：倍半角

由图1-1-39②易得tan22.5°=12+1=2?1.

∴BC=AD=12+

例2已知△ABC是等边三角形,点D,E分别在直线BC,AC上.

(1)如图1-1-40①,当BD=CE时,连接AD与BE交于点P,则线段AD与BE的数量关系是;∠APE的度数是.

(2)如图②,若“BD=CE”不变,AD与EB的延长线交于点P，那么(1)中的两个结论是否仍然成立?请说明理由.

(3)如图③,若AE=BD,连接DE与AB边交于点M.求证:M是DE的中点.

【简析】(1)利用等边三角形的性质结合已知，证明△ABD≌△BCE(SAS)即可解决问题.

(2)结论“AD=BE,∠APE=60°”仍然成立.利用等边三角形的性质结合已知，证明△ABD≌△BCE(SAS)即可解决问题.

(3)过点E作EF∥BC交AB边于点F.证明△MEF≌△MDB即可解决问题.

解:(1)AD=BE60°

(2)结论“AD=BE,∠APE=60°”仍然成立.理由如下:如图1-1-41①,

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.

∴∠ABD=∠BCE=120°.

又∵BD=CE,

∴△ABD≌△BCE(SAS).

∴AD=BE,∠BAD=∠CBE,∠ADB=∠BEC.

又∠APE=∠ADB+∠DBP,∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°,∠DBP=∠CBE,

∴∠APE=∠ACB=60°.

(3)证明:∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.

如图1-1-41②,过点E作EF∥BC交AB边于点F.

∴∠AFE=∠ABC=60°,∠AEF=∠ACB=60°.

∴△AEF是等边三角形.

∴EF=AE.

∵AE=BD,

∴EF=BD.

∵EF∥BD,

∴∠EFM=∠DBM.

∵∠EMF=∠DMB,

∴△MEF≌△MDB(AAS).

∴EM=DM,M是DE的中点.

进阶训练

1.如图1-1-42,在△ABC中,AB=3AC,∠BAC的平分线交BC于点D,过点B作BE⊥AD,垂足为E,求证:AD=DE.

2.如图1-1-43,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,若E在AD上.

求证:BC=AB+CD.

3.问题:如图1-1-44,在?ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.

答案:EF=2.

探究:(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.

①当点E与点F重合时,求AB的长;

②当点E与点C重合时,求EF的长.

(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求ADAB

4.如图1-1-45,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过H作直线l⊥AO于点H,分别交直线AB,AC,BC于点N,E,M.

(1)当直线l经过点C时(如图①),求证:BN=CD;

(2)当M是线段BC的中点时(如图②)，写出线段CE和线段CD之间的数量关系，并证明.

5.如图1-1-46,△ABC是等边三角形,CE是△ABC的外角∠ACM的平分线,点D为射线BC上一点,且∠ADE=∠ABC,DE与CE相交于点E.

(1)如图①,如