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椭圆第一课时公开课

CATALOGUE目录椭圆基本概念与性质椭圆与直线关系椭圆中三角形问题参数方程在椭圆问题中应用圆锥曲线综合问题

01椭圆基本概念与性质

椭圆是平面内所有满足到两个定点（焦点）距离之和等于常数（大于两焦点间距离）的点的集合。定义$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$（$ab0$），其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴长度。标准方程椭圆定义及标准方程

椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长度，两焦点位于椭圆长轴上。焦点焦距长短轴两焦点之间的距离，用$2c$表示，满足$c^2=a^2-b^2$。椭圆的长轴和短轴分别为$2a$和$2b$，它们分别代表椭圆上最远和最近的两个点的距离。030201焦点、焦距和长短轴

椭圆的离心率$e$定义为$e=frac{c}{a}$，它描述了椭圆的扁平程度。离心率越小，椭圆越接近圆形；离心率越大，椭圆越扁平。根据离心率的大小可以判断椭圆的形状。当$0e1$时，图形为椭圆；当$e=0$时，图形为圆；当$e1$时，图形为双曲线。离心率与形状判断形状判断离心率

已知椭圆的两个焦点和长轴长度，求椭圆的标准方程。例题1根据已知条件求出$a$、$b$和$c$的值，然后代入标准方程即可。解题思路判断给定方程的图形是否为椭圆，并求出其长轴、短轴和焦距。例题2首先将给定方程化为标准形式，然后观察系数判断是否为椭圆。若为椭圆，则根据系数求出长轴、短轴和焦距。解题思路典型例题分析

02椭圆与直线关系

判断直线与椭圆的位置关系，可以通过联立直线和椭圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式的正负来判断。若判别式大于0，则直线与椭圆有两个交点，即直线与椭圆相交；若判别式等于0，则直线与椭圆相切；若判别式小于0，则直线与椭圆无交点，即直线与椭圆相离。还可以通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断。若圆心到直线的距离小于半径，则直线与椭圆相交；若圆心到直线的距离等于半径，则直线与椭圆相切；若圆心到直线的距离大于半径，则直线与椭圆相离。直线与椭圆位置关系判断

利用判别式等于0求切线方程。联立直线和椭圆的方程，消元后得到一元二次方程，令判别式等于0，解出切线斜率，进而写出切线方程。利用切线的定义求切线方程。根据切线的定义，切线与过切点的半径垂直。因此，可以通过求过切点的半径的斜率，进而求出切线的斜率，写出切线方程。切线方程求解方法

过椭圆上一点作椭圆的切线，切点所在直线上的任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线的切点所连的线段（即切点弦）所在直线必过定点。这个定点称为椭圆的焦点。切点弦性质利用切点弦性质可以简化一些复杂问题的求解过程。例如，在求解过椭圆上一点作两条互相垂直的切线的问题时，可以利用切点弦性质直接得出两条切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心、以长轴或短轴为直径的圆。切点弦性质的应用切点弦性质探讨

例题1已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。要点一要点二分析本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质等基础知识。通过联立直线和椭圆的方程，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系求出AB中点的坐标，进而求出以AB为直径的圆的方程。根据题目条件可知该圆过椭圆的右顶点，从而求出m和k的关系式。最后通过化简整理得出直线l过定点，并求出该定点的坐标。典型例题分析

03椭圆中三角形问题

通过利用基本不等式，将三角形的面积表达式转化为可求解的形式，进而求出面积的最大值。基本不等式法引入参数表示三角形的顶点坐标，将面积表示为参数的函数，通过对参数求导并令导数为零，找到面积的最大值。参数法通过几何直观，观察三角形形状的变化趋势，找到面积达到最大时的特殊位置或形状，进而求解。几何法三角形面积最大值求解策略

连接椭圆上任意两点的线段叫做椭圆的弦，弦的中点叫做椭圆的中点弦。中点弦定义椭圆的中点弦所在的直线与椭圆中心所在的直线平行且等于椭圆长轴的一半。中点弦性质利用中点弦性质，可以快速求出椭圆上任意一点到椭圆中心的距离，进而解决与距离相关的问题。应用举例中点弦性质应用

张角最大（小）值问题处理方法张角定义两条射线或线段所夹的角叫做张角。张角最大值问题处理方法通过利用椭圆的性质和几何直观，找到张角达到最大时的特殊位置或形状，进而求解。张角最小值问题处理方法与张角最大值问题类似，通过利用椭圆的性质和几何直观，找到张角达到最小时的特殊位置或形状，进而求解。

例题二已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b