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椭圆的定义与标准方程公开课

目录椭圆的基本概念与性质椭圆的标准方程推导与性质分析椭圆与直线的位置关系椭圆在坐标系中的变换及性质

目录椭圆的参数方程及其应用椭圆相关知识点总结与拓展

01椭圆的基本概念与性质

椭圆的定义椭圆是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长度之和等于常数（且大于两定点之间的距离）的点的集合”构成的图形。几何意义椭圆是一种优美的平面曲线，其形状由长轴和短轴决定。椭圆在几何、物理、工程等领域都有广泛应用，如天体运动轨道、建筑设计中的椭圆形结构等。椭圆的定义及几何意义

标准方程椭圆的标准方程为$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，其中$ab0$，表示椭圆中心在原点，长轴在x轴上，短轴在y轴上。图形特征椭圆具有对称性和封闭性。其图形关于x轴和y轴都是对称的，且任意一点到两焦点的距离之和等于常数。椭圆的标准方程与图形特征

010203焦点椭圆的两个焦点位于长轴上，且关于原点对称。焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度。长轴椭圆的长轴是通过椭圆中心且长度等于两焦点之间距离的线段。长轴的长度用$2a$表示。短轴椭圆的短轴是与长轴垂直且通过椭圆中心的线段。短轴的长度用$2b$表示，且$ba$。椭圆的焦点、长轴和短轴

02椭圆的标准方程推导与性质分析

椭圆与圆的联系通过拉伸或压缩圆的x轴或y轴，可以得到椭圆。因此，椭圆的方程可以通过对圆的方程进行变换得到。圆的方程回顾首先回顾圆的标准方程，即(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心，r是半径。椭圆方程的推导设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，且椭圆中心在原点。通过坐标变换和圆的方程，可以推导出椭圆的标准方程为x2/a2+y2/b2=1。从圆的方程推导椭圆方程

椭圆标准方程x2/a2+y2/b2=1表示所有满足该条件的点(x,y)的集合。这些点构成的图形是一个椭圆，其长轴和短轴分别为2a和2b。椭圆形状的解释在椭圆的标准方程中，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度。同时，椭圆上任一点到两焦点的距离之差的绝对值等于短轴的长度。准线是垂直于长轴的两条直线，它们与椭圆的交点满足特定的几何关系。焦点与准线的解释椭圆标准方程的几何解释

对称性01椭圆关于x轴、y轴以及原点都是对称的。这意味着椭圆上的任意一点关于这些对称轴的对称点也在椭圆上。焦点性质02椭圆的两个焦点与椭圆上任意一点构成的角平分线总是垂直于该点与两焦点连线的中垂线。此外，从椭圆一个焦点出发的光线经过椭圆反射后，会聚于另一个焦点。离心率与形状03椭圆的离心率e定义为c/a，其中c是焦点到中心的距离，a是长轴的一半。离心率决定了椭圆的形状，e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近圆形。椭圆性质的分析与探讨

03椭圆与直线的位置关系

通过联立直线与椭圆方程，消元后得到一元二次方程，利用判别式判断交点个数。判别式法通过绘制直线与椭圆的图形，观察交点的个数和位置。图形法直线与椭圆的交点判断

利用切线的定义，通过求导得到椭圆上某点的切线方程。由切线斜率与法线斜率互为负倒数的关系，求得法线方程。切线与法线的求解方法法线求解切线求解

已知椭圆方程和直线方程，求交点坐标。例题1例题2例题3已知椭圆上一点，求过该点的切线方程和法线方程。讨论直线与椭圆的位置关系，并给出相应的图形。030201典型例题解析与讨论

04椭圆在坐标系中的变换及性质

平移公式若椭圆中心从原点平移到点$(h,k)$，则椭圆方程变为$frac{(x-h)^2}{a^2}+frac{(y-k)^2}{b^2}=1$平移性质平移不改变椭圆的形状和大小，只改变其位置。平移变换下的椭圆方程

旋转变换下的椭圆方程旋转公式若椭圆绕原点逆时针旋转$theta$角度（$theta0$），则椭圆方程变为$frac{(xcostheta+ysintheta)^2}{a^2}+frac{(ycostheta-xsintheta)^2}{b^2}=1$旋转性质旋转不改变椭圆的形状和大小，但改变其方向和位置。

若椭圆在$x$轴方向伸缩系数为$m$，在$y$轴方向伸缩系数为$n$，则椭圆方程变为$frac{x^2}{a^2m^2}+frac{y^2}{b^2n^2}=1$伸缩公式伸缩会改变椭圆的形状和大小，但保持其中心位置不变。当$m=n$时，椭圆仍为标准椭圆；当$mneqn$时，椭圆变为扁椭圆或长椭圆。伸缩性质伸缩变换下的椭圆方程

05椭圆的参数方程及其应用

参数方程的定义通过引入一个或多个参数来表示椭圆上点的坐标的方程。参数方程的一般形式对于椭圆，其参数方程可表示为$x=acostheta,y=bsintheta$，其中