2025年中考数学压轴题拔高训练 函数背景下线段的长及其最值.docx

函数背景下线段的长及其最值

1.点到点的距离

设A(xA,yA),B(xB,yB),则：

(1)AB平行于坐标轴

①AB∥y轴,即.xA=xB时,AB=|yA-yB|;②AB∥x轴,即yA=yB时，AB=|

提醒：由于距离均为正值，所以注意一定是“大”减“小”.位置不确定时需加绝对值.

(2)AB与坐标轴不平行

①

②化“斜”为“直”，转化为竖线段或横线段：作x轴或y轴的垂线，将“斜线段”放到直角三角形中，应用锐角三角函数求解，或借助相似三角形求解.

2.线段长的最值问题

一般策略：把线段长表示成一个变量m(一般是线段某端点的横坐标)的函数，求函数的最值.

应用举例

例1如图2-1-1，在平面直角坐标系中，直线y=x-4分别与x轴、y轴交于点A和点B，抛物线y=ax2?3x+c经过A，B两点，与x轴的负半轴交于点F，C为第四象限抛物线上一动点，过点C作CE⊥x轴于点E,交直线AB于点D.

(1)求抛物线的解析式及点F的坐标；

(2)求CD的最大值及取最大值时点C的坐标.

【问题分析】

CD∥y轴,故CD=y

(3)如图2-1-2,过点C作CM⊥AB于点M,在点C运动的过程中,求CM的最大值及取最大值时点C的坐标.

【问题分析】

CM不与坐标轴平行，考虑借助CD求解.寻找CD与CM的关系:在Rt△CDM中,由∠ABO=45°=∠CDM,可得CD=2

求解此类问题的基本策略：化斜为直.直线与坐标轴的夹角是常用的隐含条件之一，注意应用.

(4)如图2-1-3,过点C作BF的平行线,分别交直线AB、x轴于点G，Q.m为何值时，GD的长最大，最大值是多少?

【问题分析】

GD与CD的关联性不是很明显,考虑到∠CDB=45°,可作GH⊥CE于点H,构造直角三角形DGH,则DG=2GH=2DH.结合图形找出CH与GD的关系即可得到DG与CD的关系→考虑条件CQ∥BF，结合CE∥BO,可得△BOF

例2在平面直角坐标系中，抛物线y=?1

如图2-1-4，点P为直线BC上方抛物线上的一动点.过点P作PH⊥BC于点H,作PD∥y轴交BC于点D,当△PHD的周长最大时，求点P的坐标；

(2)如图2-1-5,过点C作CD∥x轴,交抛物线于点D,点P为直线AD上方抛物线上的一动点，过点P作PE∥BD交AD于点E，作PF∥y轴交AD于点F,当△PEF的周长最大时,求点P的坐标.

【问题分析】

(1)△PHD的周长最大,即PH+HD+PD最大.根据PD∥y轴,PH⊥BC,可知∠PDH=∠BCO=60°,据此分别用PD表示出PH,HD,再借助PD的最值求解.

(2)此题本质上与第(1)问相同.根据PE∥BD,PF⊥x轴,想到过点D作x轴的垂线，得到等角,再根据∠ADB=90°(隐含条件)，添加辅助线，构造直角三角形求解.

进阶训练

1.如图2-1-6,抛物线.y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3).点P为抛物线y=x2+bx+c上的一个动点.过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.

(1)求b,c的值.

(2)若点P在直线BC下方的抛物线上，且DE=1

(3)在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍?若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图2-1-7,抛物线.y=?x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且B(--1,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E,当PE:BE=1:2时,求点P的坐标.

3.如图2-1-8,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C,连接AC,BC,其中CO=BO=2AO.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC于点E,作QN⊥x轴于点N,交BC于点M.当△EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值.

4.如图2-1-9,抛物线y=ax2+bx?3交x轴于B,C两点,且点B的坐标为(-2,0),直线y=mx+n过点B和抛物线上另一点A(4,3).

(1)求抛物线和直线的解析式.

(2)若点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方,过P作PQ∥x轴且PQ=4(点Q在点P右侧).以PQ为一边作矩形PQE