2025年中考数学压轴题拔高训练 函数背景下线段和的最值.docx

函数背景下线段和的最值

问题与方法

1.“PA+PB”的最值：利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”求解.

基础问题(两定点一动点)：如图2-1-12，A，B为定点，点P为直线上的动点，求PA+PB的最小值.

基本策略：化“同”为“异”，化“折”为“直”

求解时先确定定点、动点、对称轴，对称轴一般是动点所在的直线.

衍生问题1(一定点两动点)：如图2-1-13，点P为一定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，求PM+MN的最小值.

基本策略：先对称，再垂直.

衍生问题2(一定长两定点)：如图2-1-14，已知m∥n，直线m，n之间的距离为定长d，A，B是两个定点,动点M,N分别在直线m,n上,且MN⊥m,求AM+MN+BN的最小值.

基本策略：平移转化为“基础问题”求解.

2.“kPA+PB”的最值:转化为“PH+PB”的最值求解.

问题1(胡不归问题：动点在直线上)：如图2-1-15，点A是直线l上的定点，点P是直线l上的动点,点B是直线l外的定点,求kPA+PB(0k1)的最小值.

基本策略：构造与kPA相等的线段(难点)，将“kPA+PB”的最小值转化为“PH+PB”的最小值.

提醒：①求PA+kPB的最值，以点B为角的顶点作角；求PB+kPA的最值，以点A为角的顶点作角;②当PA+kPB中的k1时,PA+kPB=k1kPA+PB,转化为

问题2(阿氏圆问题：动点在圆上)：如图2-1-16，已知⊙O的半径为r，定点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点,且r=k·OA.连接PA,PB,求kPA+PB的最小值.

基本策略：构造“子母型”的相似三角形，转化kPA为PH.

应用举例

例1(两定点一动点)如图2-1-17，抛物线y=?x2?2x+3与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D为该抛物线的顶点.P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E.当线段PE取得最大值时，在直线AC上找一点Q，使得△PQD的周长最小，求出这个最小周长.

变式1(一定点两动点)如图2-1-18,直线y=kx+b(k,b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0),B(0,3),抛物线y=?x2+2x+1与y轴交于点C.

(1)求直线AB的解析式；

(2)若点E在抛物线y=?x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.

【问题分析】

本题中E，F均为动点，C为定点，属于衍生问题1，故需先作定点关于抛物线对称轴的对称点C,再过C作直线AB的垂线,垂线段的长为所求.

【反思提升】

变式2(一定长两定点)如图2-1-19，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过B,D(-4,5)两点,且与直线DC交于另一点E.

(1)求抛物线的解析式.

(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【问题分析】

EM+MP+PB中,点P,M为动点，平行线为y轴和对称轴，d=MP=1.可归属于“一定长两定点”型问题.

此题中两定点在平行直线的同侧.记对称轴与x轴交于点B，分析题中条件，可得PB=PB,故将B向左平移d个单位得到B,连接BE交对称轴于点M,此时EM+PB=EM+MB

例2在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2a

(1)求抛物线的解析式.

(2)点E的坐标为32

①求PE+3

②求5PE+3PA的最小值.

【问题分析】

本题第(2)问为胡不归问题，①需借助锐角三角函数转化35PA.寻找正弦值为3

由E32?158得sin∠BAE=

②系数k1，需先提取系数转化:5PE+3PA=5(PE+35PA),问题转化为第①

进阶训练

1.如图2-1-21,直线y=x+1与抛物线y=x2?4x+5交于A,B两点,P是y轴上的一个动点.当△PAB的周长最小时，点P的坐标为

2.如图2-1-22,已知抛物线.y=ax2+bx?3与x轴交于点A(1,0)和B(3,0),与y轴交于点C.D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值.

3.如图2-1-23,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0