2025年中考数学压轴题拔高训练 专题四 平行四边形存在性问题.docx

专题四平行四边形存在性问题

问题与方法

问题1(三定点一动点)：如图3-4-1，已知平面直角坐标系内的三个点A(1，2)，B(6,1),C(3,5),D为同一坐标平面内一点,若以A,B,C,D四个点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为.

【简析】先作出满足条件的图形，确定点的位置，再求点的坐标.

A，B，C，D四个点中有三个定点一个动点.

如图3-4-2,连接AB,BC,CA,分别过A,B,C三点作BC,AC,AB的平行线,三条直线两两相交于点D?,D?,D?,则点D?,D?,D?即是所求的点D的位置.

当四边形ABCD?是平行四边形时，AB‖CD?,AB=CD?,∴CD?可看成是由AB平移得到的.

∵B(6,1),C(3,5),∴把AB向左平移3个单位,再向上平移4个单位可得(CD?.

∵A(1,2),∴点A的对应点D?的坐标为(?2

当四边形ABD?C,四边形ACBD?是平行四边形时，同理可得D?8

拓展：上述解法是根据平移的性质求解的，同学们也可以根据直线.D?D?平行于AB，且过点C求得其解析式，同理求出直线D?D?,D?D?的解析式，两两联立构造方程组求得点D的坐标.

问题2(两定点两动点):如图3-4-3,在平面直角坐标系中,点A(4,2),B(-1,-3)，P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点，若以A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则点P，Q的坐标分别为.

【简析】A,B,C,D四个点中有两个定点两个动点.A(4,2),B(-1,-3).

设P(xp,0),Q(0,y?).如图3-4-4所示:

①当AB为边时，平移线段AB，使其两端点分别落在x轴、y轴上，有两种可能.当四边形ABP?Q?是平行四边形时，对角线AP?的中点与BQ?的中点重合，解得xP1=?5,yQ1=5,此时，P??50,Q?(0,5);当四边形ABQ?P?是平行四边形时,对角线AQ?的中点与BP?的中点重合，解得

②当AB为对角线时，对角线P?Q?的中点与AB的中点重合，

解得xP2=3,

综上,符合题意的点P,Q的坐标分别为:P(-5,0),Q(0,5)或P(5,0),Q(0,-5)或P(3,0),Q(0,-1).

平行四边形存在性问题常见处理策略

1.定性分析，确定位置——几何法

(1)三个定点一个动点的情况(平行相交法)

如图3-4-5①，A，B，C为三个定点，分别过这三点作三角形ABC三条边的平行线，找到其交点，可得3个平行四边形：[□ABCD?,□ABD?C,□ACBD?.

(2)两个定点两个动点的情况(平移法+对角线法)

设两定点为A，B.

①如图②，当AB为平行四边形的边时(平移法)：平移AB，即可确定另外两动点的位置(原理：平行四边形的对边平行且相等).需要注意的是可能有两种平移方式.

②如图③，当AB为平行四边形的对角线时(对角线法)：取AB的中点，作过中点的直线，并在上面截取OC=OD,可得□ACBD.

2.定量分析，确定数值——代数法

(1)利用平移的性质求未知点的坐标

如图3-4-6①，坐标平面内把线段AB平移得线段CD，则两定点A，B移动的水平距离和铅垂距离分别相等，据此可构造方程xA?xC=xB?

(2)利用中点坐标公式求未知点的坐标

如图②，根据平行四边形的对角线互相平分，构造方程x

事实上，(1)(2)中构造的两个方程组是一致的，可统一为：对角线两端点的横坐标之和相等，且纵坐标之和相等.

3.“斜化正”策略——数形结合

如图③，如果A，B是两个定点，线段AB是一条“斜线段”，通过平移，把AB平移到CD的位置构成平行四边形时，常常令“AM=CN”或“BM=DN”构造方程求解.

应用举例

例1如图3-4-7，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx?4(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值；

(3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系内确定一点M，使得以点A，D，M，P为顶点的四边形是平行四边形.写出所有符合条件的点M的坐标，写出求解过程.

【问题分析】

第(2)问中，A，D为定点，设出点P的坐标，建立△PAD的面积关于点P的横坐标的二次函数，求最值即可；

第(3)问中，在(2)的条件下，则P点为确定的点，故已确定了三个点A，D，P，属于“三定点一