2025年中考数学压轴题拔高训练 专题五 特殊平行四边形存在性问题.docx

特殊平行四边形存在性问题

问题与方法

问题:如图3-5-1,直线.y=x上有一点P，点P在第一象限且OP=2

(1)在坐标平面内有两个点M，N，若O，P，M，N四个点能够构成正方形，求M，N的坐标；

(2)在坐标轴正半轴上有一点E，坐标平面内有一点F，若点O，P，E，F四个点能够构成菱形，求点E的坐标.

【简析】易知P(2,2),直线.y=x与坐标轴的夹角为45°.分OP为边和OP为对角线两种情况进行讨论.

(1)①当OP为正方形的一边时，如图3-5-2，过点O作OP的垂线，并在垂线上截取(ON?=ON?=OP;；过点P作PO的垂线，分别交坐标轴于.M?,M?两点，则四边形(OPM?N?,四边形OPM?N?为所求的正方形.

②当OP为正方形的对角线时，连接PN?，PN?，分别与y轴和x轴交于点M?,N?,则四边形(ON?PM?是正方形.

根据正方形及等腰直角三角形的性质，易求得.M?04,N??22)或M

提醒：由于M，N没有先后顺序，每一对M，N的坐标均可以互换.

(2)如图3-5-3，①当OP为菱形的一边时，由于点E在坐标轴的正半轴上，故将OP分别向右或向上平移22个单位，可得菱形OE?F?P,OPF?E?,此时E1220,E

②当OP为菱形的对角线时，作OP的垂直平分线，分别交x轴，y轴于点.E?,F?,可得菱形OE?PF?,此时E?20,F?0

综上，满足条件的点E的坐标为(22,0),(0,22),(0,4),(4,0),(2,0),(0,2).

解决特殊平行四边形存在性问题的常用策略

1.菱形的存在性问题，常常转化成等腰三角形的存在性或平行四边形的存在性问题，兼顾对角线互相垂直.

2.矩形的存在性问题，常常转化为直角三角形的存在性或平行四边形的存在性问题，兼顾对角线相等.

3.正方形的存在性问题，常常转化为等腰直角三角形的存在性问题.

几何构图方法分别如图3-5-4(注：A，B为定点，C，D为动点)：

应用举例

例1如图3-5-5,直线y=32x

(1)求k的值并直接写出点B的坐标；

(2)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【问题分析】

(1)将点A的坐标代入正比例函数解析式可求出m，则A点确定，即可求出反比例函数解析式，联立两个解析式即可求出交点B的坐标；

(2)若四边形ABPQ是矩形,则AB是矩形ABPQ的边.根据矩形的构图方法，只需过点B作AB的垂线，与坐标轴的交点即为所求的点P，进而根据点P的位置求点P的坐标.

例2如图3-5-6,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,若OA=OC=2OB=2.

(1)求抛物线的解析式及直线BC的解析式.

(2)如图3-5-6,过点A作AD⊥BC于点D,过点D作DH⊥x轴于点H，若点G为直线DH上的动点，N为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以M，N，G，H为顶点的四边形为正方形?若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

【问题分析】

第(2)问中，利用三角函数或相似可求出直线AD的解析式，从而求出交点D的横坐标，即可得H点的坐标.因为GH⊥x轴,动点M在x轴上,故GH只能为正方形的一条边，不能是对角线.由于M在x轴上，可设M(m,0),再用m分别表示出MH和MN的长,再根据MN=MH列方程求解.

例3如图3-5-7,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(-1，0)两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【问题分析】

根据点P在对称轴上，横坐标已知，可设出点P的坐标.由于点A，C为定点，菱形的四条边相等,故考虑先求出AC2,AP2,PC2.再通过平移AC和作线段AC的垂直平分线，大致确定点P，Q的位置，进而根据菱形的性质列方程求解点P的纵坐标.最后根据点A，C，P的坐标和菱形对角线互相平分求得点Q的坐标.

进阶训练

1.如图3-5-8，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象经过点A(3,m)与B(6,m-6),过点A作AC

(1)求m的值.

(2)求证:△ABC为等腰三角形.

(3)点E是平面内一点，第一象限的双曲线上是否存在点D，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是正方形?若存在，求出点D，E的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图3-5-9，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形,点A,B在x轴上,抛物线y=x2+bx+c经过B,D(-4,5)两点,且与直线DC交于另一点E.

(1)求抛物线的解析式.