2025年中考数学压轴题拔高训练 专题一反比例函数相关结论的探究与应用.docx

专题一反比例函数相关结论的探究与应用

反比例函数的表达式y=k

【基础结论】

接下来，我们在此基础上进行一些探究.

探究1如图1-1-1，在平面直角坐标系xOy中，点P在反比例函数y=kxk≠0x0)的图象上，过点P作PA⊥

生长思考：如图1-1-2，在平面直角坐标系xOy中，点P在反比例函数y=kx(k≠0,x0)的图象上,过点P作PA⊥x轴于点A,点B在y轴上,连接BA,BP,则△

【引导】从面积角度考虑，点的横、纵坐标主要关联的是图形的底和高，“基础结论”是底和高呈现的特殊情况，“探究1”的图形相比“基础结论”中的图形一般化了，但面积未变.

【延伸结论1】

探究2如图1-1-3，在平面直角坐标系xOy中，点P在反比例函数y=kxk≠0的图象上，连接PO并延长，交图象另一支于点Q，过点P作PA⊥x轴于点A,连接AQ,则

生长思考：如图1-1-4,在平面直角坐标系xOy中，点P在反比例函数y=kxk≠0的图象上，连接PO并延长，交图象另一支于点Q，过点P作PA⊥x轴于点A,过点Q作QB⊥y轴于点B,延长PA,QB交于点C,则

【引导】反比例函数图象关于原点成中心对称，故若设P(x,y),则Q(-x,-y),应用“基础结论”用k表示出三角形的面积.

【延伸结论2】

探究3如图1-1-5①,点A,B在反比例函数y=kxk0)第一象限的图象上，过点A作AP⊥

生长思考：如图1-1-6①，点A，B在反比例函数y=kxk0)第一象限的图象上，若过点A作AP

【引导】猜想AB∥PQ.可从图形面积出发考虑，如图1-1-5②,图1-1-6②,连接AQ,BP,构造与k有关的三角形.根据“延伸结论1”，可得SAPQ=SBPQ=12|k|.因

【延伸结论3】

探究4如图1-1-7，在“探究3”的条件下，若直线AB与x轴,y轴分别交于点D,C,请问:AC和BD具有怎样的数量关系.

生长思考：如图1-1-8，若点A，B在反比例函数y=kxk≠0的图象上，且在不同象限，直线AB与x轴，y轴分别交于点D，C，过点AP⊥

【引导】根据“延伸结论3”中的平行关系，可以找到图1-1-7中的□QPAC,□QPDB,于是AC=PQ=BD.

当A，B两点在不同象限的图象上时，同样可找到图1-1-8中的□QPAC,□QPDB,因此AC=BD仍然成立.

【延伸结论4】

探究5如图1-1-9,点A在反比例函数y=kxk0,x0)的图象上，过点A作AP⊥x轴于点P，过点P作PQ∥OA交第一象限的图象于点Q，则PQ

生长思考:如图1-1-10,在“探究5”的条件下,若直线PQ交y轴于点M，与第三象限的图象交于点N,请问:在PQ,MP,MN这三条线段两两之间，是否还存在上述的比值.

【引导】线段PQ和OA均与坐标轴不平行，且PQ∥OA，故考虑斜化直，按比例进行转化.

如图1-1-11,过点Q作QR⊥x轴于点R,则PQ

因点Q是OA的平行线PQ与反比例函数图象的交点，故考虑联立解析式.

设A(m,km),则OA所在直线的函数解析式为y=kmzx,PQ所在直线的函数解析式为y=

联立两函数解析式，可得点Q的横坐标为5+12m,故

解决“生长思考”的问题，只需根据“延伸结论4”，得出PQ=MN,则有PQMP

【延伸结论5】

当PQ∥OA时,PQ

结论应用

例1如图1-1-12,点A是反比例函数.y=6x(x0)图象上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交反比例函数y=2

A.2B.4

C.6D.8

【问题分析】当两个反比例函数图象上分别有一点，且两点的连线与坐标轴平行时，可利用基础结论通过三角形面积的和差来解决问题.

例2如图1-1-13,直线AB与反比例函数y=kxk0,x0)的图象交于A，B两点，与x轴交于点C,且AB=BC,连接OA,OB.若△

【问题分析】当反比例函数图象的一支上出现两点时，若与面积有关，一般由图象上的点向坐标轴作垂线段，以便应用“基础结论”，再根据题中所给的线段关系，结合图象上两点的横、纵坐标乘积相等得到比例线段，进行面积转化.也可借助“延伸结论4”和相似三角形的性质求解.

例3如图1-1-14,经过原点O的直线与反比例函数y=axa0)的图象交于A,D两点(点A在第一象限),点B,C,E在反比例函数y=bx(b0)的图象上,AB∥y轴,AE∥CD

【问题分析】遇到与反比例函数图象有关的是四边形或多边形的面积时，一般先根据图形的性质和位