2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块09-解三角形.docx

模块九：解三角形

1、余弦定理

(1)余弦定理:三角形中任意一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在△ABC中,角A,B,

提示:在△ABC中,若∠C=π

(2)余弦定理的推论及其变形

推论:cosA=b2

由余弦定理知在△ABC中,若∠A为锐角,则cosA0,从而b2+c2?a20,即b2+c2a2;若∠A为钝角,则cosA

(3)余弦定理的证明(阅读课本人教A版必修二P42)

2、正弦定理(用不同方法给出证明)

(1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为

在正弦定理中,设asinA=bsinB=csinC

(2)正弦定理的变形与推广

边化角。

1)a:b

2)a=2RsinA,

径);.角化边.

3)sinA=a2R,sinB=b

4)asinB

5)a

=

(3)正弦定理的证明(阅读课本人教A版必修二P46)3、三角形中三个内角之间的关系

利用正弦定理、余弦定理解决三角形的综合问题时,要注意三角形三个内角的一些三角函数关系:

在△ABC中,

(1)sinA=

tanA=?tanB+

tan

(2)sinA2

∴tanA1?tanB

-(tanB+tanC),

∴tanA?tanAtanBtanC

∴tanA

tanAtanBtanC

cos2A

4、三角形的面积公式

在△ABC中,角A,B,

(1)S△A

(2)S△A

(3)S△ABC=12a+b

(4)数量积形式的三角形面积公式:在△ABC中,设AB=m

S

(5)坐标形式的三角形面积公式:在△ABC中,设

S

注:其他表示三角形面积公式形式,请阅读课本人教A版必修二P54)5、三角形中的两个重要模型

(1)三角形周长的求解:三角形周长等于三边和,但是有的时候需要转化。

周长=

模型:a

(2)三角形面积最值:均值不等式求面积:均值不等式结合完全平方公式运算

模型:a

等量代换:a

S

6、测量中角的有关术语及计算

1.方位角

○名师点睛

正南方向:指从原点O出发经过目标的射线与正南的方向线重合,即目标在正南方向线上,可类推正北方向、正东方向和正西方向.

从指北方向顺时针转到目标方向的水平角,如图(1).

图(1)图(2):北偏东m°图(3):南偏西

2.方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北偏东(西)、南偏东(西)xx度,如图(2),(3).

3.仰角与俯角

在同一铅直平面内,目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角.如图.4.坡角

坡角:坡面与水平面的夹角.坡度:坡面的垂直高度h和水平长度l的比.设坡角为α,坡度为i,则i=h

【课本优质习题汇总】

人教A版必修二P51

2.如下页图,在山脚A测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a?m到达B处,在B处测得山顶P的仰角为γ.求证:山高h

(第2题)

人教A版必修二P53

(第8题)

8.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,在点

12.如图,在△ABC中,已知

(第12题)

AC边上的两条中线AM,BN相交于点P

13.一条河的两岸平行,河的宽度d=500?m,一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度v1的大小为v1=10?km

(1)当船逆流行驶,与水流成钝角时;

(2)当船顺流行驶,与水流成锐角时;

(3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.

请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间,判断是否当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时所用时间最短.

人教A版必修二P53

15.△ABC的三边分别为a,b,c,边

m

m

m

16.在△ABC中,求证:

20.已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为

(1)三角形的面积S=p

(2)若r为三角形的内切圆半径,则

r

(3)把边BC,AC,A

h

h

h

人教A版必修二P54

21.如图,为了测量两山顶M,N

(第21题)

沿水平方向在A,B两点进行测量,A