最值问题(解析版）.pdfVIP

1．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·25）（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点

E，F分别是AD，DC边上的动点，EF＝4，点G为EF的中点，点P为BC上的一动点，则PA+PG

的最小值为8．

【分析】因为EF＝4，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG＝2，所以G是

以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D

为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；根据勾股定理求得A′D

＝10，即可求得A′G＝A′D﹣DG＝10﹣2＝8，从而得出PA+PG的最小值．

【解答】解：∵EF＝4，点G为EF的中点，

∴DG＝2，

∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，

作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，

此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；

∵AB＝4，AD＝6，

∴AA′＝8，

∴A′D＝＝10，

∴A′G＝A′D﹣DG＝10﹣2＝8，

∴PA+PG的最小值为8，

故答案为：8．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，

一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

2．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·25）（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，

点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP为边在MP右侧作Rt△MPQ，PM＝PQ，

连结AM，AQ，则△AMQ周长的最小值为．

【分析】因为△AMQ的周长为AM+AQ+MQ，其中AM的长可以由直角△ABM中利用勾股定理求得，

为定值，所以只需要求得AQ+MQ的最小值即可，由题意可得，点A，M为定点，Q为动点，即“一动

两定”问题，只需要找到动点Q的运动轨迹即可，过A作AM⊥AN，使AN＝AM，先证△MAN∽△

MPQ，再证△MAP∽△MNQ，得到∠MAP＝∠MNQ，延长NQ交直线AD于H，可以得到∠NHO＝

45°，则Q点在经过N点，且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，此题就变成了“在直线NH

上找一点Q，使AQ+QM最小“的将军饮马问题，所以过A作关于NH的对称点K，连接KM交NH于

Q，AQ+MQ的最小值为MK，利用勾股定理可求出KM的值，即可解决．

【解答】解：如图1，过A做AN⊥AM，使AN＝AM，连接MN，NQ，

则∠AMN＝∠ANM＝45°，

∵△MPQ是直角三角形，PM＝PQ，

∴∠PMQ＝∠AMN＝45°，∠MAN＝∠MPQ＝90°，

∴△AMN∽△PMQ，

∴＝，

∵∠AMN＝∠PMQ，

∴∠AMP＝∠NMQ，

∴△MAP∽△MNQ，

∴∠MAP＝∠MNQ，

延长MQ交AD于H，设AD与MN交于点O，

则∠AOM+∠AMN＝∠NOH+∠NHO，

∵∠AOM＝∠HOH，

∴∠NHO＝∠AMN＝45°，

∴直线NH与直线AD夹角为45°，

∴Q在经过N点且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，

如图2，过M作ME⊥AD于E，过N作NF⊥AD于F，

则∠AEM＝∠NFA＝90°

∴∠NAF+∠MAE＝∠MAE+∠AME＝90°，

∴∠NAF＝∠AME，

在△AME与△NAF中，

，

∴△AME≌△NAF（AAS），

∴AE＝NF，EM＝AF，

∵M是BC的中点，BC＝8，

∴BM＝4，

∵四边形