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第四章连通性(connection)

§1连通空间(connectedspace)

Def.4.1.1设A和B是拓扑空间X中

的两个子集。如果

(AB)(BA)

则称子集A和B是子集(separated

sets)。

Notice：1)由定义知，AB并且

BA.从而显然有，AB。

2)拓扑空间中任何两个不相交的闭子

集一定是子集。

Exa.4.1.11）在实数空间中，子集

和(1,2)是的，而子集和

(0,1)(0,1)[1,2)

不是的。

2）平庸空间中任何两个非空子集都不

是的，而在离散空间中任何两个无交

的子集都是的。

Proof:因为平庸空间中任何非空子集

的闭包是全集。而离散空间中的任何子集

都既是开集又是闭集，从而任何两个无交

的子集都是的。

Def.4.1.2设X是一个拓扑空间。如

果X中有两个非空的子集A和B使得

XAB,则称X是一个不连通空间；否

则称X是通空间。

Exa.4.1.2包含着多于一个点的离散

空间是不连通空间，而任何平庸空间都是

连通空间。

Th.4.1.1设X是一个拓扑空间。则下

列条件等价：

(1)X是一个不连通空间；

(2)X中存在着两个非空的闭子集A

和B使得AB和ABX成立；

(3)X中存在着两个非空的开子集A

和B使得AB和ABX成立；

(4)X中存在着既开且闭的非空真子

集。

Proof：(1)(2)设(1)成立，则存在

X中的两个非空子集A和B使得

ABX，显然AB，并且这时有

BBX(BA)(BB)B，

因此B是X中的一个闭子集，同理A也是

(2)(3)设(2)成立，由AB，

BA,可知A和B是X中的开子集。

(3)(4)若A和B是X中满足条件

(3)的子集，则显然A和B都是X中的既开

且闭的非空真子集。

(4)(1)设X中有一个既开且闭的非

空真子集A，令BA，则A和B都是X



中的非空的闭子集，它们是无交的并且使

得ABX.又无交的闭子集必定是

的，因此X是不连通空间。

Exa.4.1.31)多于一个点的离散空间

是不连通空间；

proof：设X是多于一个点的离散空

间，由于离散空间中任何一个子集都是既

开且闭的，