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柔性双轮平衡机器人的动力学建模与分析1

李欣源，阮晓钢

北京工业大学电子信息与控制工程学院，北京(100124)

摘要：本文设计了一种柔性双轮平衡机器人，特点为机身具有以一段弹簧作为弹性阻尼的被动俯仰旋转关节。运用拉格朗日方法建立了此机器人在平面运动的动力学模型。基于此模型，首先对系统特性进行分析，证明柔性双轮平衡机器人在直立平衡点不稳定和局部可控，与刚性机身时结论相同，进而证明刚性模型为柔性模型的特例，得出两者具有统一性的结论。其次，分析了柔性关节刚度对线性二次型最优姿态平衡控制系统的影响。结果显示，柔性关节刚度减小理论上能够加强系统的鲁棒性，却使得动态性能加速下降。本文提出的模型及相关分析为柔性双轮平衡机器人的设计和控制提供了一定理论依据。

关键词：柔性关节；双轮平衡机器人；建模；稳定性；可控性；动态性能；鲁棒性

1．引言

双轮平衡机器人为典型的非完整、非线性、欠驱动系统[1]，是控制科学和机器人领域备受关注的研究对象[1,2,3,4]。这种机器人因行走机构小巧、灵活而具有广阔应用前景。近年来，以JOE[5]等经典双轮平衡机器人为原型，已发展出一类独特的双轮仿人机器人[6,7]，另外，Segway公司的HT电动车[8]应用也日益广泛。

双轮平衡机器人由于重心位于两轮轴连线之上而不能自治维持直立姿态，姿态控制系统必不可少，而其动力学模型往往作为姿态控制系统设计与分析的重要依据[1,2,3,5]。以往在建立双轮平衡机器人动力学模型时通常将机身近似为刚体[1,2,3,5]。然而，形如文献[6]中的双轮仿人机器人在腰部具有俯仰旋转关节，若关节的材料、负载等因素导致关节弹性不可忽略时，将机身近似为刚体不足以描述系统特性，此时应视机身为含柔性旋转关节的多刚体系统。此外，人类身体在物理上可以简化为含粘弹性旋转关节的倒立摆[9]，所以HT电动车与其驾驶员作为整体也能近似为一个含柔性关节的多刚体系统。可见，将机身近似为单刚体的模型不适用于研究机身含柔性关节的双轮平衡机器人的动力学问题，因而构建柔性机身双轮平衡机器人实验平台并建立其动力学模型，有助于更加准确的分析此类系统特性以保障控制系统性能。

Spong[10]最早对柔性旋转关节机械臂动力学建模进行深入研究，随后众多相关研究围绕串联机械臂，只有少数研究者关注移动机器人中的柔性关节问题，如Karayam等[11]分析了装有柔性关节机械臂的轮式机器人的负载能力；Filipovic等[12]建立了考虑关节柔性的双足类人机器人在动平台上的动力学模型，但这些工作与双轮平衡机器人并不直接相关。而Kawaji等[13]曾提出一种含柔性旋转关节的二级直线倒立摆，其中旋转关节采用弹簧作为柔性阻尼器。该结构简单牢固，十分适合构造柔性双轮平衡机器人，只是采用2段弹簧的结构稍显冗余。另外，由于双轮平衡机器人构造上不同于倒立摆[1]，而且增加了偏航自由度，所以文献[13]中以拉格朗日法建立柔性倒立摆动力学模型虽然值得借鉴，但其结果并不能完全体现双轮平衡机器人的特点。

综上，以往的研究中很少涉及机身含柔性旋转关节的双轮平衡机器人设计及其动力学问题，因而也少有针对此类机器人的相关分析。为此，本文设计了一种柔性双轮平衡机器人，该机器人机身具有一段弹簧作为柔性阻尼的旋转关节。将柔性关节近似为具有线性阻尼的扭转弹簧，由此物理系统抽象为含弹性阻尼旋转铰的多刚体系统，采用拉格朗日方法建立其在平面运动的动力学模型。基于此模型对柔性双轮平衡机器人展开相关分析。首先，分析系统稳定性和可控性，证明系统在直立平衡点不稳定和局部可控，与刚性机身双轮平衡机器人特性相

1本课题得到国家“863计划”项目(2007AA04Z226)；国家自然科学基金项目；北京市教委重点项目(KZ200810005002)；北京市人才强教计划项目；高等学校博士学科点专项科研基金资助课题的资助。

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同。进而推导两者模型间的关系，证明刚性模型为柔性模型的特例，两者具有统一性。其次，在线性二次型最优控制策略下，通过测试刚度变化对鲁棒性和动态性能指标的影响，分析柔性双轮平衡机器人姿态平衡控制性能随关节刚度变化的规律，结果显示，柔性关节刚度减小能够加强系统的鲁棒性，却使得动态性能加速下降。本文提出的模型和相关分析为柔性双轮平衡机器人的设计和控制提供了一定理论基础。

2．机器人构成

本文所述柔性双轮平衡机器人由躯干、基座和双轮三部分组成，物理参数如表1所示。由左、右电机驱动基座两侧的双轮运动，机器人运行时重心在轮轴连线之上。以加速度计、陀螺仪检测姿态变化，以光