平方根和立方根.docVIP

PAGE

平方根和立方根page6-ofNUMPAGES10

平方根和立方根

平方根和立方根

中考要求

中考要求

内容

基本要求

略高要求

较高要求

平方根、算数平方根

了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根

会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根

立方根

了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根

会用立方运算的方法，求某些数的立方根

小故事

小故事

第一次数学危机之无理数的发现

大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为四艺，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的危机，从而产生了第一次数学危机．

到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处．第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！

知识点睛

知识点睛

一平方根、算术平方根

1、平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．

也就是说，若，则就叫做的平方根．

一个非负数的平方根可用符号表示为“”．

2、算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）

一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若，则．

3、平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．

开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．

二立方根

1、立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根。

一个数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略．

前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．

读作“三次根号”，读作“二次根号”，读作“根号”．

任何一个数都有立方根，且只有一个立方根。

正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．

2、立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．

平方根与立方根的区别与联系：

1、区别：

（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略．

（2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数．

（3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．

一、对立方根的定义和性质的考察

（1）下列说法中，不正确的是（）

A．8的立方根是2B．的立方根是

C．0的立方根是0D．的立方根是a

（2）的立方根是（）

A．B．C．D．

（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（4）下列说法正确的是（）

①正数都有平方根；②负数都有平方根，

③正数都有立方根；④负数都有立方根；

A．1个B．2个C．3个D．4个

（5）若a立方比a大，则a满足（）

A．a0B．