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平面几何中线段相等的证明几种方法

平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等

这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。

证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形

∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°

∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°

∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°

∴AC=CD，CE=CB

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE=DB

［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

证明：过点E作EG//AF交BC于点G

∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE

∵BE=CF，∴GE=CF

在△EGD和△FCD中，

∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF

∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD

二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等

如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。

∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD

∴△ADC≌△GDB

∴AC=GB，∠FAE=∠BGE

∵BE=AC

∴BE=BG，∠BGE=∠BEG

∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF

∴AE=EF

［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

证明：∵DF⊥BC

∴∠DFB=∠EFC=90°，∠D=90°－∠B，∠CEF=90°－∠C

∵AB=AC，∴∠B=∠C

∴∠D=∠CEF

∵∠CEF=∠AED

∴∠D=∠AED

∴AD=AE

三、利用平行四边形的性质证明线段相等

如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。

［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，

∴△DGH是Rt△

∵AD=AH

∴AG==AD