高三数学下学期坐标系与参数方程【题集】-讲义（教师版）.pdf

坐标系与参数方程【题集】

1.极坐标方程与参数方程的综合应用

1.在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立

极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的直角坐标方程．

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．

【答案】（1）．

（2）．

【解析】（1），

则，即，

所以的直角方程为．

（2）由题（）可知圆心坐标为，半径，

又曲线方程为，关于轴对称，且曲线过圆外定点，

∴当曲线与圆有且仅有个交点时，设曲线在轴的右半部分与圆相切于点．

此时，，

∴，则

∴，即曲线的方程为．

【标注】【知识点】极坐标与普通方程互化问题；圆的切线的相关问题

2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为

（为参数）．

（1）求和的直角坐标方程．

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

【答案】（1）；

当时，的直角坐标系方程为：；

当时，的直角坐标系方程为：．

（2）．

1

【解析】（1）的参数方程为（为参数），

的直角坐标方程为：．

的参数方程为（为参数），

当时，的直角坐标系方程为：；

当时，的直角坐标系方程为：．

（2）将（为参数）与联立可得：

，

化简得．

由已知线段中点坐标为．

，即，

，

即的斜率为．

【标注】【知识点】中点弦问题；直线和抛物线的位置关系

3.在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为

的直线与交于，两点．

（1）求的取值范围．

（2）求中点的轨迹的参数方程．

【答案】（1）．

（2）

，（）．

【解析】（1）的直角坐标