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圆的标准方程ppt公开课

圆的基本概念与性质

圆的标准方程及其推导

圆的性质定理及其应用举例

直线与圆的位置关系判断方法

曲线图形中涉及圆的问题探讨

总结回顾与拓展延伸

圆的基本概念与性质

01

01

圆的定义

平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

02

圆的要素

圆心、半径。

03

圆的表示方法

圆心和半径表示法、直径表示法、三点表示法。

圆心

01

圆的中心，用字母O表示。

02

半径

连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示。

03

直径

通过圆心且两端都在圆上的线段，用字母d表示，且d=2r。

弧

圆上任意两点间的部分。

弦

连接圆上任意两点的线段。

扇形

由两个半径和它们所夹的弧围成的图形。

圆是中心对称图形，也是轴对称图形。

对称性

周期性

圆的旋转不变性

圆的周长和面积都具有周期性，即随着半径的增大，周长和面积也按一定比例增大。

圆绕圆心旋转任意角度后，其形状和大小都不会发生变化。

03

02

01

圆的标准方程及其推导

02

平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的定义

在平面直角坐标系中，圆可以用圆心和半径来表示。

圆的表示

圆具有旋转对称性，即绕圆心旋转任意角度，图形不变。

圆的性质

(x-a)²+(y-b)²=r²。

平方两边，得到圆的标准方程

√[(x-a)²+(y-b)²]。

任意一点P(x,y)到圆心的距离公式为

√[(x-a)²+(y-b)²]=r。

根据圆的定义，点P到圆心的距离等于半径r，即

01

已知圆上三个点的坐标，可以通过求解方程组确定圆心坐标和半径。

02

已知圆的标准方程，可以直接读出圆心坐标(a,b)和半径r。

03

通过圆的性质，如切线性质、弦中垂线性质等，也可以间接确定圆心坐标和半径。

此时a=0,b=0，圆的标准方程简化为x²+y²=r²。

圆心在原点

此时b=0，圆的标准方程简化为(x-a)²+y²=r²。

圆心在x轴上

此时a=0，圆的标准方程简化为x²+(y-b)²=r²。

圆心在y轴上

此时r=1，圆的标准方程简化为(x-a)²+(y-b)²=1。

半径为1的圆（单位圆）

圆的性质定理及其应用举例

03

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

利用切线长定理可以求解与切线长度相关的问题，如求解切线长度、证明线段相等或求解角度等。

切线长定理

应用举例

应用举例

利用割线长定理可以求解与割线长度相关的问题，如求解割线长度、证明比例关系或求解角度等。

割线长定理

从圆外一点引圆的两条割线，割线长的乘积等于从该点至两条割线与圆交点的两条线段的乘积。

01

02

弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

应用举例

利用弦切角定理可以求解与弦切角相关的问题，如求解角度、证明角度相等或求解弦长等。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

利用垂径定理可以求解与垂径相关的问题，如求解弦长、证明线段相等或求解角度等。同时，垂径定理在解决与圆相关的几何问题时也有广泛的应用，如求解圆的半径、证明圆的性质等。

垂径定理

应用举例

直线与圆的位置关系判断方法

04

利用圆心到直线的距离公式，若距离小于半径，则直线与圆相交。

直线方程与圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式大于0，则直线与圆相交。

直线方程与圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式等于0，则直线与圆相切。

利用圆心到直线的距离公式，若距离等于半径，则直线与圆相切。

直线方程与圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式小于0，则直线与圆相离。

利用圆心到直线的距离公式，若距离大于半径，则直线与圆相离。

例题1

已知直线$l:y=kx+b$和圆$C:(x-a)^{2}+(y-c)^{2}=r^{2}$，判断直线$l$与圆$C$的位置关系。

解析

首先联立直线和圆的方程，消元后得到关于$x$的一元二次方程。根据判别式的正负判断直线与圆的位置关系。若判别式大于0，则相交；若判别式等于0，则相切；若判别式小于0，则相离。

例题2

已知直线$l:Ax+By+C=0$和圆$C:x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$，判断直线$l$与圆$C$的位置关系。

解析

首先计算圆心到直线的距离$d=frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{sqrt{A^{2}+B^{2}}}$，其中$(x_{0},y_{0})$为圆心坐标。然后根据距离$d$与半径$r$的大小关系判断位置关系。若$dr$，则相交；若$d=r$，则