高一T同步(辅助角公式及其应用3星).docVIP

同步：辅助角公式及其应用(★★★)

教学目标

辅助角公式是三角函数中的两角和与差的正弦或预先公式的变形，是求与三角有关的函数的周期、单调区间、图像变换及最值的重要变换手段。灵活地使用它对理解三角函数的知识有着重要的意义，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为的形式.本节课教学目标是熟练运用辅助角公式.

导入

辅助角公式的另一个种推到方案：

首先要说明，假设或时，已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有.

rO的终边P(a,b)x1.在平面直角坐标系中,以为横坐标,为纵坐标描一点P(,)如右图所示,那么总有一个角,它的终边经过点P.设OP=r,r

r

O

的终边

P(a,b)

x

,

.

所以=

=.(其中)

知识梳理

1.辅助角公式：

〔其中,,,〕

2.应用辅助角公式的步骤：

一、“提”常数〔即提取〕

二、“定”值

令,，于是得到

三、“用”处多

应用公式可求最值〔值域〕、周期、单调区间、对称轴及对称点等。

可以将步骤归纳为“提——定——用”.

典例精讲

例1〔★★〕函数，求使为正值的的集合.

解：,

由，有,

那么得，

故

再由，可取，

所以，使为正值的的集合：

注：在解三角不等式时，可先从R上利用函数的周期性，找出要求角的范围；再从范围上，通过选定k的值，确定符合题意的角的范围.

【稳固练习1】〔★★★〕函数。假设，求的最大值和最小值.

解：

∵，∴

∴

∴

注：限定角度范围求值域问题，可利用整体的思想，“由内到外”，一层一层求值域，从而完成终极目标.

例2〔★★★〕求函数的最小正周期.

解：

所以函数y的最小正周期T=π.

注：如果是填空选择的话，可直接看出最小正周期为，因为在运用辅助角公式时，不会改变函数的周期.

【稳固练习2】〔★★★〕假设函数的最大值为2，试确定常数的值.

解：=，

从而，解得=.

例3〔★★★〕函数，设，，求的值.

解：

由

得sin()=，又

故，那么

而

=sin

==.

注：在求sinα时，巧用凑角法：，并且判断出的范围，进而求出确实切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷.

【稳固练习3】〔★★★〕函数．

〔Ⅰ〕求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值．

〔Ⅱ〕假设，．求的值．

解：〔Ⅰ〕由,得

．

所以函数的最小正周期为．

因为，所以．

所以，

即时，函数为增函数，而在时，函数为减函数，

所以为最大值，为最小值．

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，又由，

那么．

因为，那么，

因此，

所以，

于是，

．

课堂检测

1.〔★★★〕函数的定义域为，求函数的值域和零点．

.解：

因为，所以

即

由,得

零点为或

注：学生在这里的时候容易忘记“零点”的概念，一定要特别强调零点不是一个点，而是一个值.

2.〔★★★〕设函数(其中＞0,),且的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕如果在区间上的最小值为，求a的值。

解：〔Ⅰ〕

∵的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为

∴

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知

由，得

所以即

回忆总结

辅助角公式：=

问：如何确定？

答：,,

一般地，可在利用辅助角公式时，将前的系数化为正，再用辅助角公式，此时，可通过一个式子，确定.