2025年中考数学复习：几何图形变换专题一 平移问题.docx

几何图形变换专题一平移问题

知识与方法

平移变换的定义：在平面内，把图形M上的所有点按一定方向移动一定的距离，形成图形M的几何变换，就是平移变换，简称平移.

平移变换的性质：①平移前后图形的对应线段平行且相等,对应角相等(如图2-1-1①,AB=AB,AB∥AB);

②平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等(如图②，△ADE≌△BCE);

③平移前后图形的对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等(如图①，AA

平移变换的要素：平移方向和平移距离.

典例精析

例1如图2-1-2,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD方向平移,得到△EGF,连接EC,GC.则EC+GC的最小值为.

【简析】连接ED，由平移的性质易得，四边形EGCD是平行四边形,∴EC+GC的最小值=EC+ED的最小值,点E在过点A且平行于BD的定直线上，由将军饮马模型易得EC+GC的最小值为3

进阶训练

1.如图2-1-3,在边长为4的正方形ABCD中,将△ABD沿射线BD平移,得到△EGF,连接EC,GC.则EC+GC的最小值为.

2.如图2-1-4,将△ABC沿着射线BC方向平移至△ABC,使点A落在△ACB的外角平分线CD上,连接AA.

(1)判断四边形ACCA的形状，并说明理由；

(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∠BAC=

答案：3

典例精析

例2如图2-1-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为CB,CA边上的点,且AE=BC,BD=CE,BE与AD的交点为P,则∠APE的度数为

答案:45°

【简析】题目出现了2组相等线段，显然必须设法将这些可用条件集中到特殊图形中去，进而利用新构造的特殊图形的特殊性质去解题.本题中的2组相等线段还隐藏有特殊的位置关系——垂直，可猜想将一些线段进行平移后构造出等腰直角三角形进行解题，本题思路达成.

解法一：平移线段BD.

如图2-1-6①,将线段BD沿射线DA方向平移,得到线段AF,连接BF,EF.

∵由平移可知BD=AF,BD∥AF,

∴四边形ADBF为平行四边形.

∴AD∥BF.

∴∠APE=∠EBF,∠C=∠EAF=90°.

∵BD=CE,∴AF=CE.

在△BCE和△EAF中,

∵AF=CE,∠C=∠EAF=90°,AE=BC,

∴△BCE≌△EAF(SAS).

∴∠AEF=∠CBE,EF=BE.

∵∠CBE+∠CEB=90°,

∴∠AEF+∠CEB=90°,即∠BEF=90°.

∴△BEF为等腰直角三角形.

∴∠EBF=45°.∴∠APE=45°.

本题基本图形有图2-1-6②③④.

解法二：平移线段CE.

如图2-1-7①,将线段CE沿射线CB方向平移,得到线段BF,连接AF,EF,PF,DF.

由平移可得四边形BCEF为矩形，还可得△BDF和△AEF为等腰直角三角形，由相似之“一转成双”可知,△ADF∽△EBF,即∠DAF=∠BEF,由“8字型”可得∠APE=∠AFE=45°.本题基本图形有图2-1-7②③④.

本题还有很多平移构造法，如平移线段AE或平移线段BC等，自行尝试一下还有哪些方案可行，此处不一一赘述.

反思与总结

平移可以把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件相对集中起来，让条件具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形.这样我们就可以利用平移后产生的图形性质对图形进行研究，从而使问题得到转化.

进阶训练

3.如图2-1-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果在线段CB,CA上分别有点D,E,满足AE=12BC,BD=12CE,

4.如图2-1-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果在线段CB,CA上分别有点D,E,满足BC=3AE,CE=3BD,BE与AD交于点P,则tan∠

5.已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.

(1)如图2-1-10①,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD(点C,F在直线AB的两侧),连接DF,CF.

①依题意补全图①；

②判断△CDF的形状并证明.

(2)如图②,E是直线BC上的一点,直线AE,CD相交于点P,且∠APD=45°.求证:BD=CE.

6.已知:在正方形ABCD的边BC上任取一点F(点F不与B,C重合),连接AF,一条与AF垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E.

(1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时,如图2-1