2025年中考数学复习：与平行或相似有关的线段倍分问题.docx

与平行或相似有关的线段倍分问题

知识与方法

一、与平行线有关的线段倍分

平行线分线段成比例是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段、线段倍分及相似图形的最基本、最重要的理论.运用平行线分线段成比例解题的关键是寻找题中的平行线.若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑过哪一个点作平行线，一般由成比例的两条线段启发而得.

1.平行线分线段成比例

如图1-2-32,如果l?∥l?∥l?,则BCAC=

2.平行线分线段成比例的推论

如图1-2-33,如果DE∥BC,则ADAB=

如图1-2-33，在相似三角形的判定中，我们通过作平行线，从而得出A字型或8字型相似.在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形.

3.基本图形

条件:如图1-2-34,AF∥DE∥BC.

结论：1

【简析】∵AF∥DE∥BC,

∴

∴

即DE

∴1

二、与相似三角形有关的线段倍分

在相似图形中出现的线段间的关系比全等图形中的等量关系更为复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的和差等.证明这类问题，一般需要通过比例的转换或中间量的过渡.相似基本图形如图1-2-35.

典例精析

例1如图1-2-36,在△ABC中,E,D是BC边的三等分点，F是AC的中点,BF分别交AD,AE于点G,H,则BG:GH:HF=.

答案:5:3:2

【简析】因条件中没有平行线，故需过F作BC的平行线，构造基本图形.过点F作FM∥BC交AE于点M,则根据△BEH∽△FMH,利用BF表示出HF的长度.过点D作DN∥AC交BF于点N,则△BDN∽△BCF且△DNG∽△AFG,依据△BDN∽△BCF可以用BF表示出BN的长,然后依据△DNG∽△AFG表示出NG的长,则BG,GH,HF都可以利用BF表示出来，则比值即可求解.

如图1-2-37,过点F作FM∥BC交AE于点M,设BC=6a,则BD=DE=EC=2a.

∵F是AC的中点,

∴MF=

∵FM∥BC,

∴△BEH∽△FMH.

∴

∴HF=

过点D作DN∥AC交BF于点N,设AC=2b,则AF=CF=b,

∵DN∥AC,∴△BDN∽△BCF.

∴

∴DN=

∵DN∥AC,

∴△DNG∽△AFG.

∴

∴NG=13GF,即

∴BG=

∴GH=BF?BG?HF=BF?12

∴BG:GH:HF=1

例2(1)如图1-2-38①,在△ABC中,ABAC,点D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC,若AD=2,AE=32,则CE

(2)如图②,在(1)的条件下,将△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD，CEBD

(3)如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,ABAC=54,点M,N分别在边AB,AC上,且MN∥BC,现将△AMN绕点A按逆时针方向旋转到

【简析】(1)由DE∥BC，根据平行线分线段成比例即可求得CE

(2)由(1)可知ADAE=ABAC,由旋转的性质可知∠BAD=∠

(3)由旋转可知∠BAC=∠DAE,由已知∠BAC=∠ADC,可得∠EAD=∠ADC,则AE∥DC,进而求得∠EDC=90°,由MN=ED可求得EC,根据(2)的结论即可求得BD.

.解：134[解析]·DEBC,∴

∵AD=2,AE=

(2)不变.

由(1)可知DE∥BC,

∴△ADE∽△ABC.

∴ADAB=

由旋转的性质可知，∠BAD=∠CAE.

∵

∴△ABD∽△ACE.

∴

3BD=1554.[解析]∵

∴∠ANM=90°.

由旋转的性质可知,∠AED=∠ANM=90°,ED=MN=3.

∵∠BAC=∠DAE,∠BAC=∠ADC,

∴∠EAD=∠ADC.

∴AE∥CD.

∴∠EDC=180°?∠AED=90°.

∵DC=6,ED=3,

∴在Rt△EDC中,EC=

由(2)可知,CE

∴BD=

进阶训练

1.如图1-2-39,在△ABC中,BC=2,P?,M?分别是AB,AC边的中点(图①),P?,M?分别是AP?,AM?的中点(图②),P?,M?分别是AP?,AM?的中点(图③)……按这样的规律下去,P?M?的长为.

2.如图1-2-40,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=3,P是BC上的一点,PE∥AB交AC于点E,PF∥CD交BD于点F.设PE,PF的长分别为m,n,x=m+n.那么当点P在边BC上移动时，x的值是否变化?若变化，求出x的取值