2025年中考数学复习：与中点有关的线段相等问题.docx

与中点有关的线段相等问题

一、线段垂直平分线

知识与方法

如图1-1-1，过线段BC的中点D作垂线，构建线段的垂直平分线，连接垂直平分线上的点与线段两端点，构建等腰三角形.

推广：直角三角形与等腰三角形的互相转化：你中有我，我中有你.

典例精析

例1如图1-1-2,在△ABC中,∠C=30°,D是AC的中点,DE⊥AC交BC于E,点O在直线DE上.

(1)若BC=10,则AO+BO的最小值是；

(2)若OA=OB,OD=1,OE=2,则BE的长为

答案:(1)10(2)4

【简析】(1)由题意可知DE是AC的垂直平分线，故考虑线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即连接OC，从而CO=AO.要求AO+BO的最小值,即求CO+BO的最小值,进而根据两点之间线段最短得最小值为BC=10.(2)由DE=3,∠ACB=30°,DE⊥AC易得CE=6.如图1-1-3,过点O作OF⊥BC于F,易得∠FOE=30°,EF=1

进阶训练

1.如图1-1-4,在△ABC中,D是BC的中点,AE平分∠BAC,AE⊥BE,AB=3,AC=5,则DE=.

2.如图1-1-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F.若∠F=30°,DE=1,则EF的长是.

3.已知正方形ABCD的边长为6,P是直线AD上一点,且3AP=AD,连接BP,作线段BP的垂直平分线交直线BC于点Q，交直线AD于点E，则线段CQ的长为.

二、倍长中线

知识与方法

倍长中线或将过中点的线段延长一倍构造三角形全等，也可整体形成平行四边形.

如图1-1-6①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E使DE=AD,连接BE,易证△ADC≌△EDB(SAS).

如图1-1-6②,D是BC中点,延长FD至点E使DE=FD,连接EC,易证△FDB≌△EDC(SAS).

典例精析

例2如图1-1-7,四边形ABCD中,E为AD的中点,∠A=105°,∠D=120°,AB=3,DC=22∠BEC=90°,则BC的长是.

答案：29

【简析】如图1-1-8,将BE(或CE)延长一倍(也可看作把△ABE(或△CDE)绕中点E旋转180°)构造“8字型”全等，即把已知边和角转化到同一个三角形中，同时得到等腰三角形BCF.在△CDF(或△ABF)中,已知两边及夹角,过C(或B)作DF(或AF)的垂线构造直角三角形，可解△CDF(或△ABF),得BC=CF=29(或BC=

进阶训练

4.如图1-1-9,线段AB=6cm,P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB上方作等边三角形APC、等边三角形BPD,连接CD,M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是cm.

5.如图1-1-10,AD是△ABC的中线,AB=8,AC=5，求AD的取值范围(请用两种以上方法求解).

三、直角三角形斜边上的中线

知识与方法

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形(如图1-1-11).

典例精析

例3如图1-1-12,CE,BF是△ABC的高,连接EF,EF=8,BC=12.G是BC的中点,GD⊥EF于点D.

(1)求证:ED=DF;

(2)DG的长为.

【简析】图中的两条高形成了直角三角形，其中△BCE和△BCF共斜边,且G是斜边上的中点，可考虑添加斜边上的中线，进而构造出等腰三角形，并通过三线合一求解问题.

解:(1)证明:如图1-1-13,连接GE,GF.

由CE,BF是△ABC的高,BC=12,G是BC的中点，

可知GE=GF=

∴△FEG是等腰三角形.

∵DG⊥EF,

∴ED=DF.

(2)25

进阶训练

6.如图1-1-14,在线段AB上取一点C,分别以BC,AC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE,使点D在边CF上,连接EG,H是EG的中点,且CH=4,则EG的长是.

7.如图1-1-15,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,M为BC的中点,AB=10,则DM的长度是.

8.如图1-1-16,△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°,连接DE,M为DE的中点,连接MB,MC.求证:MB=MC.

四、三角形中位线

知识与方法

三角形的中位线定理(中位线法)，可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题.

如图1-1-17,D为AB的中点,通过取AC的中点E,实现DE∥BC,且DE=

典例精析

例4如图1-1-18,在四边形ACBD中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF,分别交DC,AB于点M,N.求证:OM=ON.

【简析】条件中AB=CD,AB和CD不在同一三角形中，E，F分别是BC，AD的中点，但不是同一三角形中的两