2025年中考数学复习：专题三 旋转问题.docx

专题三旋转问题

知识与方法

旋转的定义

在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.

旋转三要素

旋转中心(绕哪转)——定点还是动点?

旋转方向(向哪转)——顺时针还是逆时针?

旋转角度(转多少)——转了多少度?

旋转的性质

经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等.举例：如图2-3-1，由旋转得与对应点有关的结论：∠AO

与对应线段有关的结论：AB=A

旋转中心可以看作对应点连线的垂直平分线的交点.当出现有一对相邻等线段，可构造旋转全等；相邻线段如不相等，也可构造旋转相似.

一、旋转全等变换

1.共顶点旋转模型

有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等.

等边三角形共顶点旋转模型

反思与总结

共顶点旋转(即“手拉手”模型)可用于任意共顶点的等腰三角形旋转问题，均能通过旋转构造全等三角形.旋转过程中第三边所成的角是一个经常考查的内容.(由“8字型”可以证明角度问题)

模型的变形主要用于两个正多边形或等腰三角形夹角的变化，也可是等腰直角三角形与正方形的混用.(其他变形不再展示)

2.半角模型

等腰直角三角形半角模型

正方形半角模型

反思与总结

旋转半角的特征是“相邻等线段所成角含一个二分之一角”，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，形成旋转全等.

3.自旋转模型(Y型模型)

有一对相邻等线段，需要构造旋转全等.

构造方法：遇60°旋60°，造等边三角形；遇90°旋90°，造等腰直角三角形；遇中点旋180°，造中心对称；遇等腰旋含腰的三角形，造旋转全等.60°自旋转模型

中点旋转模型

反思与总结

“旋转出等腰，等腰可旋转”，当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共顶点旋转到另一位置，将分散的条件集中起来，从而解决问题.

4.对角互补模型

等腰直角三角形对角互补模型

5.费马旋转模型

费马旋转60°模型

二、旋转相似变换

1.共顶点旋转模型

“一转成双”旋转模型

反思与总结

任意两个相似三角形旋转形成一定的角度，构成新的旋转相似.第三边所成夹角符合旋转“8字型”的规律.

2.对角互补模型

对角互补旋转模型

典例精析

例1如图2-3-17,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=4,D,E分别是边AC,AB的中点，连接DE.将△ADE绕点A按逆时针方向旋转.则：(1)在旋转过程中，BE的最大值为;

(2)当旋转至B，D，E三点共线时，线段CD的长为.

答案:(1)62214+2

【简析】(1)由相似三角形之“一转成双”知：△ADE∽△ACB,△ACD∽△ABE.

要求BE最大，则求CD最大.即可转化为点到圆的距离问题.

则可知CD最大为6，即BE的最大值为62

(2)因为B,D,E三点共线,∠ADE=90°,所以∠ADB=90°.所以BD是⊙A的切线.即本题分两种情况讨论.求CD的长转化为求BE的长.

不难得出BE的长分别为27+2和27?2,则CD分别为

进阶训练

1.如图2-3-20①②,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,M,N,P分别是BE,CD,BC的中点.把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3,则△PMN的周长的最大值为.

2.如图2-3-21,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG;②BE⊥DG;(③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确的结论是(填序号).

典例精析

例2如图2-3-22①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,点D,E分别在BC,AB上,DE⊥AB,连接AD,F是AD的中点.

(1)∠CFE的度数为;

(2)如图②，把△BDE绕点B在平面内自由旋转得△BDE,若F是AD的中点,BD=2,BC=3，请直接写出△CFE周长的最大值.

答案:(1)60°(2)△CFE周长的最大值为12.

【简析】(1)60°

(2)由上问可猜想△CFE为等边三角形，如猜想成立，只需求出其中一边的最大值即可知△CFE的周长最大值.

取AB中点G,连接CG,FG,易得:CG=3=CB,FG=1=BE,△GCB为等边三角形,即∠GCB=60°,易证△CFG≌△CEB,即CF=CE,由三角形全