2025年中考数学复习：专题三 隐圆最值问题.docx

专题三隐圆最值问题

知识与方法

一、定点与圆的距离的最值

说明：如图3-3-1①，圆外一点P到圆的最短距离为PA,最长距离为PB(P,A,O,B四点在同一条直线上).

理由如下：如图②，由三角形三边关系可知：PC+COPO,即PC+COPA+OA,因为CO=AO,所以可知PCPA始终成立,即线段PA为圆外一点P到圆的最短距离.

同理，如图③，由三角形三边关系可知：PCPO+OC,因为CO=BO,所以可知PCPO+OB,即PCPB始终成立,即线段PB为圆外一点P到圆的最长距离.

说明：如图3-3-2①，圆内一点P到圆的最短距离为PA,最长距离为PB(P,A,O,B四点在同一条直线上)，理由同上.

二、隐圆模型

1.定点定长型(如图3-3-3)

2.定边对定角型(如图3-3-4)

3.四点共圆型(如图3-3-5)

4.米勒问题

如图3-3-6,已知A,B是∠MON的边ON上的两个定点，P是边OM上的动点，则当点P在何处时,∠APB最大?

对米勒问题有如下重要结论称之为米勒定理.

米勒定理:已知A,B是∠MON的边ON上的两个定点，P是边OM上的动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时,∠APB最大.

证明:如图3-3-7,设P是边OM上不同于点P的任意一点,连接PA,PB,PA与圆交于点C，连接CB，根据三角形外角的性质，可知∠ACB∠APB，根据圆周角定理推论可知,∠APB=∠ACB,因此∠APB∠APB,也就是当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时,∠APB最大.

典例精析

例1如图3-3-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是.

答案:1.2

解题核心思路：狠抓不变量，即图形是否存在定点、定角、定长.

思考：定点是谁?定长有吗?轨迹如何?

△CEF沿直线EF翻折时,点F为定点,

∵CF=PF,∴PF=2,即动点P到定点F的距离始终不变，

即点P在以F为圆心，PF长为半径的圆上运动.

——转化为圆上一点到直线的最短距离问题.

【简析】延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小.

∵∠A=∠A,∠AMF=∠C=90°,

∴△AFM∽△ABC.

∴

∵CF=2,AC=6,BC=8,

∴AF=4,AB=

∴FM=3.2.

∵PF=CF=2,∴PM=1.2.

∴点P到边AB距离的最小值是1.2.

例2如图3-3-9,正方形ABCD的边长为6,G为CD边的中点，动点E，F分别从B，C同时出发，以相同速度向各自终点A，B移动，连接CE，DF交于点P,连接BP,则BP的最小值为.

答案：3

解题核心思路：狠抓不变量，即图形是否存在定点、定角、定长.

思考：定角是谁?定长有吗?轨迹如何?

点E,F分别沿线段BA,CB运动时,始终有△EBC与△FCD全等,

可利用角的关系推出∠DPC=90°，

即出现定角，∵DC为定线，即点P在以G为圆心，PG长为半径的圆上运动.

——转化为圆外一点到圆的最短距离问题.

【简析】如图3-3-10,连接BG,

∵BE=CF,∠EBC=∠DCF,BC=DC,

∴△EBC≌△FCD.

∴∠ECB=∠FDC.

∵∠ECB+∠DCP=90°,

∴∠FDC+∠DCP=90°,即∠DPC=90°.

∴点P在以DC为直径的圆上运动.

∴当B,P,G三点共线时BP长度最小.

由勾股定理可知BG=3

∴BP的最小值为3

例3如图3-3-11,在边长为6的等边三角形ABC中,E,F分别是边AC，BC上的动点,且AE=CF,连接BE,AF交于点P,连接CP,则CP的最小值为.

答案：23

解题核心思路：由结论入手：求CP的最小值，C是定点，P是动点，P的轨迹如何?

由△ABE≌△CAF(SAS)可得∠APB=120°,定弦定角(AB,∠APB),即点P在圆上运动.

【简析】∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠CAB=∠ACB=60°.

在△ABE和△CAF中.

∴△ABE≌△CAF(SAS).∴∠ABE=∠CAF.

∴∠BPF=∠PAB+∠ABP=∠CAP+∠BAP=60°.∴∠APB=120°.

如图3-3-12,过点A,点P,点B作⊙O,连接CO,PO,AO,BO,∴点P在AB.上运动.

∵AO=O