平衡二叉树的生成过程.docVIP

二叉排序树变成平衡二叉树

对于二叉查找树，尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn)，但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。

平衡二叉树又称为AVL树，它或者是一棵空树，或者是有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。二叉树的的平衡因子BF为：该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是：-1、0和1

一棵好的平衡二叉树的特征：

（1）保证有n个结点的树的高度为O(logn)

（2）容易维护，也就是说，在做数据项的插入或删除操作时，为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)

一、平衡二叉树的构造

在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树

1.调整方法

（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点

（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。

2.调整方式

（1）LL型

LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转(LL表示的是在做子树的左结点进行插入)

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。

（2）RR型

RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转

由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。

（3）LR型

LR型：插入位置为左子树的右孩子，要进行两次旋转，先左旋转，再右旋转；第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树，调整后的树变成LL型树，第二次再调整最小不平衡子树(根据LL型的调整规则，调整为平衡二叉树)。

由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F，A的平衡因子由1变为了2，成为不平衡的最小二叉树根结点。第一次旋转A结点不动，先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。

（4）RL型

RL型：插入位置为右子树的左孩子，进行两次调整，先右旋转调整为RR型，再左旋转，从RR型调整到平衡二叉树；处理情况与LR类似。

总结：RR型和LL型插入导致的树失去平衡，只需要做一次旋转调整即可。而RL型和LR型插入导致的结点失去平衡，要调整两次。对于RL/LR的调整策略是：

第一次调整，最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树(这个子树是指最小不平衡结点的一颗子树，且这棵子树是插入结点的子树)为RR型或者LL型，第二次再调整最小不平衡子树(调整策略要么是RR型要么是LL型)。

#includeiostream

{

TreeNode*p;

p=r-lchild;

LL_Rotate(p);//最小失衡树根结点的左子树根结点进行左旋转

r-lchild=p;//更新最小失衡树根结点的左孩子

RR_Rotate(r);//最小失衡树根结点进行右旋转

}

voidAVLTree::LeftBalance(TreeNode*T)//左平衡处理

{//初始条件：原来平衡的二叉排序树T的左子树比右子树高(T-bf=1)

//又在左子树中插入了结点，并导致左子树更高，破坏了树T的平衡性

//操作结果：对不平衡的树T作左平衡旋转处理，使树T的重心右移实现新的平衡

TreeNode*lc,*rd;

lc=T-lchild;//lc指向T的左孩子结点

switch(lc-BF)//检查T左子树的平衡因子

{

caseLH://新结点插入在T的左孩子的左子树上，导致左子树的平衡因子为左高，进行右旋转处理

T-BF=lc-BF=EH;//旋转后，原根结点和左孩子结点平衡因子都为0

RR_Rotate(T);//右旋转处理

break;

caseRH://新结点插入在T的左孩子的右子树上，导致左子树的平衡因子为右高，进行LR处理

rd=lc-rchild;

switch(rd-BF)

{

caseLH://新结点插入在T