平衡微分方程与切应力互等定理.docVIP

第二章应力状态分析

一.内容介绍

弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。

???应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。

???应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。

???本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。

二.重点

???1.应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；

???2.平衡微分方程与切应力互等定理；

???3.面力边界条件；

???4.应力分量的转轴公式；???

???5.应力状态特征方程和应力不变量

三．知识点

体力、应力矢量、应力分量、平衡微分方程、面力边界条件、主平面与主应力、主应力性质、截面正应力与切应力、三向应力圆、八面体单元、偏应力张量不变量、面力、正应力与切应力、应力矢量与应力分量、切应力互等定理、应力分量转轴公式、平面问题的转轴公式、应力状态特征方程、应力不变量、最大切应力、球应力张量和偏应力张量

§2.1体力和面力

学习思路:??

???本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力Fb和面力Fs的概念均不难理解。

???应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。

???体力矢量用Fb表示，其沿三个坐标轴的分量用Fbi（i=1，2，3）或者Fbx、Fby和Fbz表示，称为体力分量。

???面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。

???体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。???

学习要点：

体力；2.面力。

体力：

作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。

???所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。

面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P所受体力的大小和方向，在P点的邻

???应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。

???一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。

正应力与切应力：

讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。

???应力矢量的一种分解方法是将应力矢量pn在给定的坐标系下沿三个坐标轴方向分解，如用px,py,pz表示其分量，则

pn=pxi+pyj+pzk

这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。它的主要用途在于作为工具用于推导弹性力学基本方程。

???另一种分解方法，是将应力矢量pn沿微分面ΔS的法线和切线方向分解。与微分面ΔS法线n方向的投影称为正应力，用??n表示；平行于微分面ΔS的投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用??n表示。

???弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经常使用的应力分解形式。

???由于微分面法线n的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力???n的方向。但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力??n不仅需要确定截面方位，还必须指明方向。

应力分量：

为了表达弹性体内部任意一点M的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截取一个平行六面体单元。

将六面体单元各个截面上的应力矢量分别向3个坐标轴投影，可以得到应力分量?ij。

???应力分