培优训练第三讲 一元二次方程的解法 2024-2025学年浙教版八年级数学下册.docx

第三讲一元二次方程的解法

知识梳理

要点诠释》

一元二次方程的解法分为：直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法(十字相乘法)。

分类讨论是解含有绝对值或参数的一元二次方程的关键，判别式△=b2?4ac是公式法求解过程中判断方程实数根个数以及特性的公式。另外也可以利用判别式，建立等式或不等式，求方程中参数的值或者取值范围，甚至可以解决几何中的一些问题体现数形结合的数学思想。

【例1】解一元二次方程：x?1

【变式训练1】解一元二次方程：9

【变式训练2】用适当的方法解方程：2x?3

【例2】用配方法解方程：2

【变式训练3】用配方法解方程：2x2?4x?7=0。

【变式训练4】解一元二次方程(配方法)：1

【例3】解方程(用公式法解)：x2+2x?5=0。

【变式训练5】用公式法解方程：y

【变式训练6】用公式法解关于x的方程x2?2ax?b2+a2=0。

【例4】由多项式乘法：x+ax+b=x2+a+b

示例：分解因式：x2+5x+6=x2+

(1)尝试：分解因式：x2+6x+8=

(2)应用：请用上述方法解方程：x2?3x?4=0。

【变式训练7】用十字相乘法解下列一元二次方程。

1x2?5x?6=0;

【变式训练8】试利用十字相乘法，求出关于x的方程x2?2a+1

【例5】解方程x+12?3x+1+2=0时，我们可以将x+1看成一个整体，设x+1=y，则原方程可化为y2?3y+2=0,解得y?=1,y?=2。当y?=1时，x+1=1,,解得x=0,当y?=2时，x+1=2,解得x=1,

请利用这种方法解方程：(2x+3

【变式训练9】阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解。

例如：解方程：x2?3|x|+2=0。

解：设|x|=y，则原方程可化为：y2?3y+2=0。

解得：y?=1,y?=2。

当y=1时,|x|=1,∴x=±1;

当y=2时,|x|=2,∴x=±2。

∴原方程的解是：:x?=1,x?=?1,x?=2,x?=?2。

上述解方程的方法叫作“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：

(1)解方程:x??10x2+9=0;

(2)解方程:x+1

(3)若实数x满足x2+1x

【变式训练10】已知实数x、y满足(x2+y2x2+y2?12=45,求

【例6】已知关于x的一元二次方程x

(1)判断这个一元二次方程的根的情况；

(2)若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积。

【变式训练11】关于x的一元二次方程x2?2m+1

(1)求m的取值范围；

(2)如果等腰三角形ABC的两边是这个方程的两个不等实根，且腰长是7，求这个三角形的周长。

【变式训练12】已知关于x的一元二次方程x2?

(1)试判断上述方程根的情况；

(2)已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5。

①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形?

②当k为何值时，△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长。

【例7】设方程|x2+ax|=4,只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根。

【变式训练13】设方程|x2+2ax|=1只有3个不相等的实数根，则a满足的条件是什么?

【变式训练14】m是什么实数时，方程x2?4|x|+5=m有四个互不相等的实数根?

【例8】已知关于x的两个一元二次方程：

方程(①1+

方程②):x2+

(1)若方程①有两个相等的实数根，求k的值；

(2)若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；

(3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式(a2+4a?2k+3a2+5a

【变式训练15】已知关于x的两个一元二次方程：

方程①：x2+

方程②：x2+

(1)若这两个方程中只有一个有实数根，请说明哪个方程没有实数根；

(2)如果这两个方程有一个公共根a，求代数式ak-a-2k的值。

【变式训练16】一元二次方程x2+x+m=0与mx2+x+1=0都有两不相等的实数根，且其中有一个公共的实根x?,那么m=。

【例9】到高中时，我们将学习虚数i，(i叫虚数单位)。规定i2=?1,如?2=2×?1=±22?i2=±2

【变式训练17】规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0

(1)解方程x2+2x?8=0,，并判断是否是“倍根方程”，写出一个“倍根方程”；

(2)若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，求a的值；

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