浙教版八年级数学下册冲刺重高培优训练 专题一 无理方程.docx

专题一无理方程

知识梳理

1.定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫作无理方程。

2.有理方程和根式方程(无理方程)合称为代数方程。

3.解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程。

4.解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法。常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等。注意：用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根。

【例1】我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程。

认识新方程：

像2x+3=x这样，根号下含有未知数的方程叫作无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2,解得.x?=3,x?=?1。但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x?=?1

运用以上经验，解下列方程：

1

2

【例2】如果方程2+4x+3=k无实数解，那么k的取值范围是

【例3】小明用下面的方法求出方程2x

方程

换元法得新方程

解新方程

检验

求原方程的解

2x-3=0

令x=t,则2t-3=0

t=3/2

t=32

x=3

所以x=9

x+2x-3=0

———

x+x-2-4=0

【例4】解方程：2x?1

【例5】解下列方程组：x+1

【例6】设实数.x0,求使等式x2

【例7】解方程：x

【例8】解方程：x

【例9】求方程x+11?6x+2

【例10】解方程:x?

专题一无理方程答案

【例1】解:(1)两边平方,得16?6x=x2,

整理得x2+6x?16=0,解得x?=-8,x?=2;

经检验x=-8是增根，

所以原方程的根为x=2；

(2)移项得2

两边平方，得4x?12=x2?12x+36

解得x?=4,x?=12(不符合题意，舍)。

【例2】解:2+

4x+3

∵4x+3

∴当k-20时,方程:2+4x+3

故答案为:k2。

【例3】解：第一行每空，第二行每空；

方程

换元法

得新方程

解

新方程

检验

求原方程的解

2x-3=0

令x=t,

则2t-3=0

t=3

c=32

x=3

所以x=-9

x+2x-3=0

令x=t,

则t2+2t-3=0

t=1,

t=-3

t=10,t=-30

x=1,

所以x=1

x+x-2-4=0|

令x-2=t,则t2+t-2=0

l=-2,

t=1

t=-20,t=10

x-2=1,

所以x=3

【例4】解:设2x?1x=y,则

原方程可化为y+

两边同时乘以2y得，2y2?5y+2=0,

(y-2)(2y-1)=0,

解得y=2或y=

①当y=2时,2x?1

两边平方得,2x-1=4x,解得x=?

②当y=12时

两边平方得,8x-4=x,解得x=

检验：把x=?12

【例5】解:

由①得x+1

x+1=3?

x+1=9+y?1?6

x?y?7=?6

x?y?7

由②得x=5-y,代入③,

5?y?y?7

整理，得y2?7y+10=0,解得y?=2,y?=5,

∴x?=3,x?=0,

所以原方程组的解为：x

【例6】解:∵x0,x2-1=(x+1)(x-1)≥0,

x2+4x+3=(x+1)(x+3)≥0,

3x2+4x=(x+1)(3x+1)≥0,

∴x+10,x-1≥0,x+30,3x+1≥0,

原方程变形为：

x+1?x?1

∵

∴

∴

方程两边平方，得.x?1+x+3+2

2

方程两边平方,得4(x-1)(x+3)=(x-1)2,

整理得3x2+10x?13=0,

(x-1)(3x+13)=0,

∴x-1=0或3x+13=0,

∴x=1或x=?13

∴x=1。

【例7】解：方程x

∴

两边平方得x

整理得5x?

当x=0时，原方程成立；

当x≠0时,5?x=2

两边平方整理得3x2+14x?17=0,

解得x=1或x=?

经检验x=?17

故原方程的解为：x=0或x=1。

【例8】解：将原方程变形为：

x+y+z?2

∴

1)=0,

配方得x

利用非负数的性质得x

所以x=1,y=2,z=3,

经检验,x=1,y=2,z=3是原方程的根,

所以原方程的根为：:x=1,y=2,z=3。

【例9】解：原方程可变形为

x+2

设x+2=y,

∴

即y?3

∴|y-3|+|y-5|=1,

①当0≤y3时,3-y+(5-y)=1,解得