浙教版八年级数学下册冲刺重高培优训练 专题二 一元二次方程的整解问题.docx

专题二一元二次方程的整解问题

知识梳理

对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的实数根问题，可以用根的判别式△=b2?4ac

1.直接求解法。

2.根的判别式法。

3.根与系数的关系。

4.巧设主元。

5.构造函数等方法。

另对公式x?x?+x?+x?的恒等变形也是解决整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用。

【例1】m是什么整数时，方程(m2?1x2?6

【例2】已知方程ax2?a?3

【例3】已知关于x的方程4x2?8nx?3n=2和x2?n+3

【例4】设m为整数,且4m40,方程x2?22m?3

【例5】设关于x的二次方程(k2?6k+8x2+

【例6】试求出所有这样的正整数a，使得关于x的二次方程ax2+22a?1

【例7】设方程a2x2+ax+1?7a2=0的两根都是整数，求所有正数a。

【例8】已知m、n为整数，关于x的一元二次方程x2+7?mx+3+n=0有两个不相等的实数根，x2+4+mx+n+6=0有两个相等的实数根

【例9】(1)求满足y?+2x?+1=4x2y的所有整数对(x，y)；

(2)求出所有满足5xy+yz+zx

【例10】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定Ta

(1)判断方程13

(2)若关于x的一元二次方程x2?2m?3x+m2?4m?5=0(其中m为整数，且满足

专题二一元二次方程的整解问题答案

【例1】解:∵m2?1≠0,

∴m≠±1,

∵△=36

∴m≠3,

用求根公式可得x

∵x?,x?是正整数,

∴m-1=1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12,

解得m=2,这时x?=6,x?=4。

【例2】解:当a=0时,原方程化为3x-2=0,解得x=2

当a≠0时，根据题意可得△=a?3

解得1?2

∵a为整数，

∴a=-1、1、2,

①当a=-1时，原方程化为?x2+4x?3=0,

解得x=1或x=3,符合题意;

②当a=1时，原方程化为x2+2x?1=0,

解得x=?1±2

③当a=2时，原方程化为2x2+x=0,

解得x=0或x=?1

综上,a=-1或2。

【例3】解:由4△?=(-8n)2-4×4×(-3n-2)=(8n+3)2+230,知n为任意实数时，方程(1)都有实数根。

设第一个方程的两根为α、β，则α+β=2n,αβ=?3n?24,

=4n2+3n+2;

由第二个方程得[x-(2n+2)][x+(n-1)]=0,

解得两根为x?=2n+2,x?=-n+1;

若x?为整数，则4n2+3n+2=2n+2,

于是n

当n=0时,x?=2是整数;

n=?14时

若x?为整数，则4n2+3n+2=1?n,

有n3=n4

综合上述知，当n=0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根。

【例4】解：解方程x2?22m?3

x=

=

∵原方程有两个不相等的整数根，

∴2m+1为完全平方数，

又∵m为整数,且4m40,2m+1:为奇数完全平方数，

∴2m+1=25或49,解得m=12或24,

∴当m=12时,x=24?3±

当m=24时,x=48?3±

【例5】解:

k2?6k+8)x2+

(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0,

[(k-4)x+(k-2)][(k-2)x+(k+2)]=0,

∵(k-4)(k-2)≠0,

∴

∴k?4=?

k?2=?

由①②消去k，得x??x?+3x?+2=0,

∴x?

由于x?,x?都是整数,

即

∴k=6,3,

经检验,k=6,3,103

【例6】解：∵关于x的二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-3=0有实根，

∴a≠022a?1

∵a是正整数，

∴a=1,

当a=1时，原方程为x2+2x+1=0,

解得x?=x?=?1。

∴满足要求的正整数a为1。

【例7】解：∵方程有根，

∴a2?4a2×

?3a2+28a?≥0,

1

∴

∵两根之和与两根之积均为整数，

∴

又∵?1

∴

∴a=1,

【例8】解:7?m

4+m

m?4

由②,得:4n=m2+8m?8

由①得：m2?14m+37?4n0④,

将4n=m2+8m?8代④得：

m2?14m+37?m2?8m+80,

22m45,

解得：m

由③得：

m2?8m+12?4n0,

m2?8m+12?m2?8m+80,

16m20,

m

综上5

所以m=2,n=

【例9】解:(1)∵y?+2x?+1=4x2y?2x??4x2y+