2025年中考数学压轴题拔高训练 函数与图形的面积等量关系.docx

函数与图形的面积等量关系

问题与方法

问题:(1)如图2-2-1,在平面直角坐标系中,点A(3,3),B(-2,-2),C(4,-3),则△ABC的面积为;

(2)如图2-2-2,在平面直角坐标系中,点A(6,3),B(-2,-2),C(4,-3),则△ABCBC的面积为.

【简析】三角形三边均不平行于坐标轴，故需“改斜归正”：

过点A作平行于y轴的直线AH，交BC(或BC的延长线)于点H，得到两个有一边与坐标轴平行的△AHB,△AHC,，这两个三角形的面积和(或差)即为所求.是求“和”还是求“差”，看“点A”的位置.

(1)如图2-2-3,过点B,C作x轴的平行线,分别交AH于点M,N,

则S

由B(-2,-2),C(4,-3),可得直线BC的解析式为y=?

∴H

(2)如图2-2-4,过点B,C作x轴的平行线,分别交AH于点E,F,

则

同(1)求得AH=

方法策略：如图2-2-5，求解此类问题关键是求出线段AH的长(边BC的铅垂高)，以及B，C两点之间的水平距离(水平宽)，S

上面我们用的是分割法，当然也可以“补”成特殊四边形求解，图形如图2-2-6，同学们可以自己尝试求解.

【问题分析】

求解动点问题要善于运用不变量，在变化的过程中始终保持不变的量会对解题带来帮助.本题中不管点P如何运动，对于△PBC而言,BC不变.

思路1：割补法

直角坐标系下的“斜”三角形的面积求法均可以通过切割形式转化为“正”三角形来解决，常用竖切法：过点P作x轴的垂线，将△PBC分割成两个易求面积的三角形(有一边与坐标轴平行)，转化为求这两个三角形的面积和.

思路2：平移法

BC的长是定值,要使△PBC的面积最大只需BC边上的高最大即可.当点P到BC的距离最大时，△PBC的面积最大.

根据“平行线间的距离处处相等”可知，平移直线BC，当直线BC与抛物线只有一个公共点时，面积达到最大值，此时的公共点即为点P.

此题也可以用相似法、面积和差法求解，详见参考答案.

变式1如图2-2-8，已知抛物线y=?x2+2x+3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴交于点C，经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，P为直线BC上方的抛物线上一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标.

变式2如图2-2-9，已知抛物线y=?x2+2x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴正半轴交于点C,过点A作AD∥BC交抛物线于点D，P为直线BC上方的抛物线上一动点，Q为直线AD上的一点，求四边形PCQB面积的最大值及取最大值时点P的坐标.

【问题分析】

此题中C，D为定点，P为动点，与例1均属于“两个定点+一个动点”的三角形面积问题.两题的主要区别是点D的位置(点P可能在点D的左侧，也可能在点D的右侧)，但仍然可利用割补法求解.

【问题分析】

此题为四边形的面积最值问题.观察发现四边形PCQB由△PBC和△QBC组成,问题转化为求这两个三角形的面积问题.

变式3如图2-2-10，已知抛物线y=?x2+2x+3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴交于点C，过点C作CD‖x轴交抛物线于点D，P为线段CD上的一动点，过点P作PE‖BD交AD于点E,连接CE.当△PCE的面积最大时，求点P的坐标.

【问题分析】

因为PC∥x轴,所以欲求△PCE的最大面积，关键在求其高，即点E到CD的距离.于是考虑过点E作EH⊥CD于点H,问题转化为求EH,PC的长.

例2如图2-2-11,抛物线y=12x

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若P是线段AB上的动点(不与点A,点B重合),过点P作PE‖AC,交BC于点E，连接CP，求△PCE面积的最大值.

【问题分析】

(2)中,△PCE中只有一个定点，但两动点P，E有一定关联(PE∥AC)，此条件为求解本题的突破口.

思路1:由PE∥AC可得△BPE∽△BAC,利用相似比可得S△PBE与S△ABC的关系,再利用SPCE

思路2:由PE∥AC及AC的解析式可表示出PE的解析式，从而联立方程组可求得点E的坐标，再利用分割法求△PCE的面积.由于点P可能在y轴左侧，也可能在y轴右侧，因此需分情况讨论.

进阶训练

1.如图2-2-12，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x+2)(x-6)(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，连接AD,已知tan∠BAD=2.

(1)求点D的坐标及a的值;

(2)连接AC，交抛物线对称轴于点E，P为直线AD下方抛物线上的一个动点(不与A，D重合).连接PA,PD,DE,求四边形APDE面积的最大值及相应点P的坐标.

2.如图2-2-13,二次函数的图象经过点A(--1,0),B(3,0),C(0,-3),直线y=2x--2与x轴，y轴分别交于点D，E