2025年中考数学压轴题拔高训练 函数背景下的倍角 (半角)问题.docx

函数背景下的倍角(半角)问题

问题与方法

问题：如何构造二倍角(或半角)?

通法1：如图2-3-10，构造等腰三角形.

通法2：如图2-3-11，构造角平分线.

例1如图2-3-12,抛物线y=ax2?6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=-x+5经过点B,C.

(1)求抛物线的解析式.

(2)在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【简析】(1)抛物线的解析式为y=x2?6x+5.

(2)构造等腰三角形求解.

结合图2-3-13可知,当AM=CM时,∠AMB=2∠ACB.

设M(m,-m+5),

由MA=MC列方程,可得(m?12+?m+52=2㎡

故点M的坐标为(13

过点A作AN⊥BC于点N,直线BC上的点M关于点N的对称点M?也满足条件(∠AM?C=∠AMB=2∠ACB).

设M?(t,-t+5),由N为线段MM?的中点可得3=136+t2,解得t=236,∴

综上，存在符合条件的点M，点M的坐标为136176

例2如图2-3-14,抛物线y=ax2+bx+2(a0)与x轴交于点A(-1,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)点E的坐标为(0，-1)，在抛物线上是否存在点P,使∠OBP=2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【简析】1

(2)构造角平分线求解.

①当点P在x轴上方时,M为BP与y轴的交点，如图2-3-15，根据角平分线的性质将倍角转化为等角.

当∠OBP=2∠OBE时,取点G(0,1),则∠OBG=∠OBE=∠GBM.

过点G作GH⊥BM于H点,则GH=GO=1,BH=BO=2.

设MH=x,则MG=

由Rt△MHG∽Rt△MOB,可得MHMO=GH

∴点IM(0,83),直线BM:

直线BM与抛物线的交点即为所求的点P.

∴P

②当点P在x轴下方时，根据对称性求解.

作点M(0,83)关于x轴的对称点.N0?

直线BN与抛物线的交点即为所求，此时P

综上，存在符合条件的点P，点P的坐标为(13209)

进阶训练

1.如图2-3-16,在平面直角坐标系中,直线y=?12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点,当∠ABD=2∠BAC时,求点D的坐标.

2.如图2-3-17,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在，请说明理由.

答案

|进阶训练|

1.解：(1)抛物线的解析式为y=?

(2)如图,过点B作BE∥x轴,交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F.

∵BE∥x轴,

∴∠BAC=∠ABE.

∵∠ABD=2∠BAC,

∴∠ABD=2∠ABE.

即∠DBE+∠ABE=2∠ABE.

∴∠DBE=∠ABE.∴∠DBE=∠BAC.

设D点的坐标为x

则BF=x,DF=?

∵

∴DFBF=

解得x?=0(舍去),.x?=2.

当x=2时,?

∴点D的坐标为(2,3).

2.解：(1)抛物线的函数表达式为y=?

(2)此题中未明确哪个角是∠BAC的2倍，故需分两种情况讨论:①∠DCF=2∠BAC;②∠CDF=2∠BAC.

∵y=-12x2-32x+2,∴A(-4,0),B(1,0),C(0,2).①当∠DCF=2

解法1：(构造等腰三角形求解)

如图，延长DC交x轴于点E.

∵∠DCF=2∠BAC,∴∠CEA=∠CAE.

∴OE=OA=4.∴E(4,0).

又C(0,2),∴直线CE的解析式为y=?

日y=?12x+2,y=?12

∴点D的横坐标为-2.

解法2：(作平行线，利用角平分线求解)

如图，过点C作x轴的平行线CE，过点D作CE的垂线DE,则∠ECA=∠BAC=∠DCE,

∴

设DE=a,

∵点D在抛物线y=?1

∴?

解得a=0(舍去)或a=1,∴点D的横坐标为-2.

解法3：(作平行线构造等腰三角形)

如图，过点D作x轴的平行线交y轴于R，交直线AC于G,则∠DGC=∠BAC.

∵∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG,

∴∠CDG=∠BAC.

∴