2025年中考数学压轴题拔高训练 专题一 等腰三角形存在性问题.docx

等腰三角形存在性问题

问题与方法

问题:如图3-1-1,若点A的坐标为(4,3),点P在y轴上,使得△POA为等腰三角形的点P有多少个?它们的坐标分别是什么?

【简析】解法1(几何法)：由于点O和点A是两个定点，因此OA的长度为定值，而点P是一个动点.由于底边不确定,因此需要分OA=OP,AO=AP,PA=PO三种情况讨论.

如图3-1-2,连接OA.

①若OP=OA,则点P在以O为圆心,OA=5为半径的圆上,此圆与y轴的交点P?(0,5),P?(0,-5)即为所求;

②若AP=AO,则点P在以A为圆心,AO=5为半径的圆上,此圆与y轴的交点P?(0,6)即为所求;

③如图3-1-3，若PA=PO，则点P在线段OA的垂直平分线上，此直线与y轴的交点P?即为所求.下面求P?的坐标:过点A作AM⊥y轴于点M.

设P?O=P?A=x.

在Rt△AP?M中,1P4A2=MP42+AM2,即

所以符合条件的点P共有4个,坐标分别为(0,5),(0,-5),(0,6),(0,25

解法2(代数法):因为点P在y轴上,所以设P(0,y).用点P的坐标分别表示出OP,PA,即OP=|y|,PA=4

①若OP=OA=5,则P点的坐标为(0,5)或(0,-5);

②若AP=AO,则42+y?3

③若PA=PO,则42+y?32=y2,解得y=256

综上，符合条件的点P共有4个，坐标分别为(0,5),(0,-5),(0,6),(0,25

等腰三角形存在性问题的基本处理策略

1.几何法——尺规作图法确定位置，再求点的坐标

两定点一动点的等腰三角形的存在性问题的处理策略：设两定点为A，B，动点为P.

①“两圆一线”作出点

如图3-1-4，分别以两定点A，B为圆心，AB长为半径画圆；作线段AB的垂直平分线MN，则动点P在圆上或直线MN上(除去两定点A，B确定的直线上的点).题目要求的点P的位置与上述“两圆一线”的交点即为所求.

求满足条件的点的坐标

根据两腰长相等或作底边上的高线，利用勾股定理、锐角三角函数等求出线段长，得点的坐标.

2.代数法——根据腰相等构造方程

①设出动点坐标，由动点的坐标表示出三边长AB，BC，CA.

②分类讨论:AB=AC,AB=BC,AC=BC,分别列方程求解.

【问题分析】

有速度有方向的动点，设运动时间为t，即可把动点从出发点到某个时刻的路程表示出来，相当于把动点“定”了下来.

如果把等腰三角形的三条边分别用含t的代数式表示出来，这些线段两两相等构造方程便可得t的值.

观察到∠PAQ为定角，若某条边不能直接用含t的代数式表示，则常借助“三线合一”转化为直角三角形问题求解.

例2如图3-1-6,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【问题分析】

△ACQ中,A,C为定点,点Q为动点，动点Q由动点P的运动产生，由题中动点P的横坐标为m，则可用m表示出点Q的坐标、AQ的长、CQ的长,再分别令AC=AQ,CA=CQ,QA=QC，构造方程即可解决问题.

例3如图3-1-7,抛物线y=?1

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点P在第一象限,直线AP交BC于点F,过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长.

【问题分析】

本题中的△PFH三条边虽均不确定，但图中有平行线和很多直角三角形.这些隐含条件不可小觑，要注意合理应用，转化求解.目标是求点P的横坐标或直线AP的解析式.

①当FP=FH时,根据PH∥y轴,借助等角转化∠FPH=∠FHP=∠BCO,得tan∠APH=tan∠BCO=2,从而可得PH的长；

②当PF=PH时,∠PFH=∠PHF=∠BCO.易知∠ACB=90°(隐含条件),则AC=2FC,则FC为定长,点F的坐标即可确定，求出AF的解析式即可求出PH；

③当HP=HF时,∠HPF=∠HFP，利用等角的余角相等可得∠CAP=∠BAP.此时,即可构造“双平模型”(过点C作x轴的平行线，求出与AP的交点)，确定AP的解析式，也可根据角平分线上的点到角两边的距离相等，求出点