2024学年广州市高二数学上学期第二次质检试题卷及答案解析.docx

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2024学年广州市高二数学上学期第二次质检试题卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．直线的倾斜角为（）

A． B． C． D．

2．如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（????）

A．B．C． D．

3．已知向量，，向量在向量上的投影向量为（???）．

A．B．C． D．

4．圆的圆心和半径分别是（????）

A．，1 B．，3 C．，2 D．，2

5．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（）

A． B． C． D．

6．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（????）

A． B． C．3 D．

7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（????）

A．的方程为

B．在上存在点，使得到点的距离为3

C．在上存在点，使得

D．上的点到直线的最小距离为1

8．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．12

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（????）

A．点的坐标为2,1 B．

C． D．的最大值为5

10．已知圆：，直线：（），则（????）

A．直线恒过定点

B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1

C．直线与圆有两个交点

D．圆与圆恰有三条公切线

11．如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（????）

A． B．直线与所成角的余弦值为

C．平面 D．直线与平面所成角为

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为．

13．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为内一点，记，则的最小值为.

14．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知圆，过作直线圆交于点．

(1)求证：是定值；

(2)若点．求的值．

16．如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥．

(1)求证：四点共面.

(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

17．已知为圆C：上任意一点，

(1)求的最大值和最小值；

(2)求的最大值和最小值．

18．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切.

(1)直接写出的反射光线所在直线的方程；

(2)求圆的方程；

(3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程.

19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

??

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．

参考答案

1．【答案】A

【详解】设直线的倾斜角为，

因为该直线的斜率为，所以，所以，

故选：A

2．【答案】A

【详解】由题意，，，，

，，

设是平面的一个法向量，

则有，令，得，，

.

故选：A.

3．【答案】A

【详解】由题意可知，，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：A

4．【答案】C

【详解】由圆的标准方程，得圆心为，半径为2.

故选：C.

5．【答案】B

【详解】直线的方程为，其斜率为，

设直线的斜率为，，

．

由题意可知，，，

的方程为：，即．

故选：B

6．【答案】A

【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.

【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.

因为，故，,

所以点到直线的距离为.

故选：A

7．【答案】C

【详解