经济数学课件：导数与微分 .pptx

1《高等数学》

导数与微分

3本章主要内容§2.1导数的概念§2.2函数的求导法则§2.3隐函数及参数方程的导数§2.4高阶导数§2.5函数的微分及其应用

4学习目标理解导数的概念,了解导数在几何上、经济上的实际意义，会用导数的定义求一些简单函数的导数。会求曲线上一点处的切线方程和法线方程。熟练掌握基本初等函数的求导公式；熟练掌握导数的四则运算法则；熟练掌握复合函数的求导法则；了解高阶导数、隐函数概念并能计算。理解函数微分的定义，会用微分的运算法则和一阶微分形式不变性求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。

5§2．1导数的概念导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.微积分学的创始人:英国数学家Newton德国数学家Leibniz

一、引例例1求曲线切线的斜率．割线的斜率是切线的斜率

思考?1)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?2)既然不能描述运动员的运动状态,那我们应该用什么来描述呢?瞬时速度3)如何求运动员的瞬时速度?

8一、引例例2、求变速直线运动的瞬时速度物体在时段内的平均速度物体在时刻的瞬时速度

9二、导数的定义定义1设当时，在点的某个邻域内有定义,当在点处有增量仍在该邻域内)时，在点存在，处可导，并称这个极限值为在点处的导数，记作则称

10即在点，．如果上述极限不存在，则称处不可导．有了导数的概念，前面讨论的两个实例可以表示为：(1)变速直线运动的瞬时速度(2)曲线在某点处的切线斜率

11单侧导数（1）左导数（2）右导数结论：

例3求在点和处的导数．解给自变量在处以增量，对应的函数的增量是两个增量之比对上式两端取极限，得类似地，可求得

定义2如果在区间内的每一点都有导数，在区间内可导．这时，对于区间则称函数内每一点,都有一个导数值与它对应．因此是的函数，称为的导函数，记作即上述结果中，由于可以是(-∞，+∞)内的任意值因此在(-∞，+∞)内的任意点都存在导数

三、基本导数公式例4求函数的导数．解：即这就是说，常数的导数等于零．用定义求导数，可分为以下三个步骤：(1)求增量(2)算比值(3)取极限

15解

16例8求函数的导数．例6求函数(0，≠0)的导数．．例7求函数(0，≠0)的导数

17基本导数公式(1)(C)??0?(2)(xm)??mxm?1?(3)(sinx)??cosx?(4)(cosx)???sinx?(5)(tanx)??sec2x?(6)(cotx)???csc2x?(7)(secx)??secx?tanx?(8)(cscx)???cscx?cotx?(9)(ax)??axlna?(10)(ex)??ex?

18四、导数的几何意义切线方程为法线方程为（≠o）

19注意：该定理的逆命题不成立例如：函数处连续但不可导．因为当处有增量时所以处连续定理如果函数在点处可导，则函数在点处连续．然而不存在，所以函数处不可导)

五、函数的可导性与连续性的关系

20§2.2函数的求导法则(1)(2)(3)一、函数的和、差、积、商的求导法则如果函数u?u(x)及v?v(x)在点x具有导数?那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数?并且注:常数因子可提到求导符号外面

21例1设，求及．解因为所以例2求的导数。解根据积的求导法则，得

22例3求的导数。解例4求曲线在点(1,2)的切线方程。解因为所以于是，曲线在点（1，2）处的切线方程为，即

23例5求函数的导数．解因为，所以即类似地

24例6求函数的导数．解即类似地

25二、反函数的求导法则定理或即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

例7解同理可得

27三、复合函数的求导法则可以推广到多个变量的情形.例如：如果则可导，则复合函数在点处可导，且其导数为定理如果函数在点x处可导,而函数在对应点处复合函数求导法则：两个可导函数的复合函