高二数学上学期双曲线(教师版).pdf

双曲线

学习目标

1．掌握双曲线的定义和双曲线的标准方程并会求解相关基本量．

2．掌握双曲线的性质并会解决相关数学问题．

3．掌握双曲线焦点三角形面积的计算方式及运用．

4．掌握双曲线的焦半径公式的使用方法．

【备注】

1．本节重点是掌握双曲线的定义及标准方程（特别是之间的关系），会将双曲线的一

般方程转化为标准方程，掌握双曲线的性质并会解决相关数学问题（特别是离心率相关问

题），掌握双曲线中有关焦点三角形与焦半径的求解技巧；难点是双曲线的性质、焦点三

角形与焦半径在解题过程中一些技巧的应用．

2．关联知识：椭圆、抛物线、直线与圆.

一、双曲线及其方程

1.双曲线的定义

双曲线的定义

平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹（或集

合）叫做双曲线．

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．

双曲线定义的重要解读

（1）定义中的绝对值不能去掉，否则动点的轨迹为双曲线的一支；

（2）定义中“小于”这个条件不能去掉，因为：

①若“”，则点的轨迹是射线或；

②若“”，则点的轨迹不存在；

③若“”,则点的轨迹就是线段的垂直平分线.

经典例题

1.已知平面中的两点，，则满足的点的轨迹是（）．

A.椭圆B.双曲线C.一条线段D.两条射线

1

【备注】

本题考查双曲线的定义，注意与比较

【答案】B

【解析】根据双曲线定义，点的轨迹是以，为焦点的双曲线.

故选．

【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义

2.已知两定点，，动点满足，则当和时，点的轨迹是（

）．

A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线

C.双曲线的一支和一条射线D.双曲线的一支和一条直线

【备注】

本题考查双曲线的定义及定义的重要解读

（1）定义中的绝对值不能去掉，否则动点的轨迹为双曲线的一支；

（2）若“”，则点的轨迹是射线或.

【答案】C

【解析】当时，，根据双曲线的定义，它表示双曲线的右支；

当时，，、、三点共线，它表示以为端点的射线．

【标注】【知识点】求点的轨迹

巩固练习

1.平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（）．

A.双曲线B.射线

C.双曲线的一支或射线D.线段

【答案】C

【解析】根据双曲线定义，为，当即时，点为双曲线上的点

又因为所以点为双曲线上一支的动点，当时，为一条射线．

【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义

2.两定点、的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是．

2

【答案】双曲线

【标注】【素养】直观想象；逻辑推理；数学运算

【知识点】