高二数学上学期椭圆(教师版).pdf

椭圆

学习目标

1．掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程并会求解相关基本量．

2．掌握椭圆的性质并会解决相关数学问题．

【备注】

1．本堂课重点内容是掌握椭圆的定义及标准方程（特别是之间的关系），会将椭圆的

一般方程转化为标准方程，掌握椭圆的性质并会解决相关数学问题（特别是离心率相关问

题）；难点是椭圆的性质在解题过程中一些技巧的应用、椭圆中相关最值问题、利用椭圆

的参数方程求最值问题．

2．关联知识：双曲线、抛物线、直线与圆.

一、椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义

椭圆的定义

平面内与两个定点，距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

【备注】

1.椭圆的定义可用集合语言表示为

2.定义的双向运用：一方面，符合定义中条件的动点轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上的点

一定满足定义的条件（即到两点的距离之和为）

椭圆定义的重要解读

定义中“大于”这个条件不能去掉，因为：

①若“等于”，则点的轨迹是线段；

②若“小于”，则点的轨迹不存在．

经典例题

1.已知动圆过定点，并且与定圆内切，则动圆的圆心的轨迹是（）．

A.线段B.直线C.圆D.椭圆

【备注】

本题考查椭圆的定义；数形结合可发现定点和定圆的圆心的距离之和恰好等于定圆半径

1

【答案】D

【解析】如图，

设动圆和定圆内切于，则动圆的圆心到两点，

即定点和定圆的圆心的距离之和恰好等于定圆半径，

即

，

点的轨迹是以．为焦点的椭圆，

故选．

【标注】【知识点】椭圆的定义

2.设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（）．

A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段

【备注】

本题考查椭圆的定义与均值不等式综合问题，首先利用均值不等式求出的范

围，再根据【椭圆定义的重要解读】进行分类讨论

【答案】D

【解析】

，

当且仅当时取等号．

当时，点的轨迹是线段；

当时，点的轨迹是椭圆．

【标注】【知识点】求点的轨迹

巩固练习

2

已知定圆，，定点，动圆满足与外切且与内

切，则的最大值为（）．

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】设动圆半径为，

因为动圆与外切且与内切，

则，，

得，

∴动圆的轨迹为椭圆，

轨迹方程为：．

在椭圆的内部，

．

故选．

【标注】【知识点】利用椭圆定义求线段最值

2.椭圆的标准方程

椭