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平面几何中几个重要定理及其证明

塞瓦定理

1．塞瓦定理及其证明

定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有

．

证明：运用面积比可得．

根据等比定理有

，

所以．同理可得，．

三式相乘得．

注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其证明

定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，若，那么直线CD、AE、BF三线共点．

证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有

．

因为，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．

梅涅劳斯定理

G3．梅涅劳斯定理及其证明

G

定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有

．

证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．

因为CG//AB，所以————（1）

因为CG//AB，所以————（2）

由（1）÷（2）可得，即得．

注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．

4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明

定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F，若，

那么，D、E、F三点共线．

证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有

．

D与D/重合，即得D、E、F三点共线．

注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设条件．但需注意运用同一法证明时的唯一性．

（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共圆的运用手法．

欧拉定理

9．欧拉定理及其证明

定理：设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示．则有G、O、H三点共线（欧拉线），且满足．

证明（向量法）：连BO并延长交圆O于点D。连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC．则

———①

因为CD⊥BC，AH⊥BC，所以AH//CD．同理CH//DA．

所以，AHCD为平行四边形．

从而得．而，所以．

因为，所以———②

由①②得：————③

另一方面，．

而，所以

——④

由③④得：．结论得证．

注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法；

（2）此题也可用纯几何法给予证明．

又证（几何法）：连接OH，AE，两线段相交于点G/；连BO并延长交圆O于点D；连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC，如图．

因为CD⊥BC，AH⊥BC，所以AH//CD．同理CH//DA．

所以，AHCD为平行四边形．

可得AH=CD．而CD=2OE，所以AH=2OE．

因为AH//CD，CD//OE，所以AH//OE．可得AHG/∽EOG/．所以

．

由，及重心性质可知点G/就是ABC的重心，即G/与点G重合．

所以，G、O、H三点共线，且满足．

蝴蝶定理

10．蝴蝶定理及其证明

定理：如图，过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF，连接CF和ED，分别交AB于P、Q，则PM=MQ．

证明：过点M作直线AB的垂线l，作直线CF关于直线l的对称直线交圆于点C/、F/，交线段AB于点Q/．连接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．据圆的性质和图形的对称性可知：

MF/Q/=MFP，F/Q/M=FPM；

且FF///AB，PM=MQ/．

因为C、D、F/、F四点共圆，所以

CDF/+CFF/=1800，

而由FF///AB可得Q/PF+CFF/=1800，所以

CDF/=Q/PF，即MDF/=Q/PF．

又因为Q/PF=PQ/F/，即Q/PF=MQ/F/．所以有

MDF/=MQ/F/．

这说明Q/、D、F/、M四点共圆，即得MF/Q/=Q/DM．

因为MF/Q/=MFP，所以MFP=Q/DM．而MFP=EDM，所以EDM=Q/DM．这说明点Q与点Q/重合，即得PM=MQ．

此定理还可用解析法来证明：

想法：设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数．

证：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，M点是坐标原点