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平面解析几何中的对称问题

李新林

汕头市第一中学515031

对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。

在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。

平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。

一、点点对称

定理1平面上一点关于点的对称点为，

特别地，点关于点的对称点为。

证明：显然为线段的中点，设，由中点坐标公式有：

，即，故。

例１若点关于点的对称点为，求点的坐标。

解：设，由定理１有，即。

二、点线对称

定理1平面上一点关于直线的对称点为：

。

证明：先证明一般情况，即的情况。

Y如图（一）,设，线段交直线于点

，由点与点关于直线

对称，故为线段的中点且，

OX于是有：

O

且，

又点在直线上，故有：，

解此二元一次方程组得：，

即。

至于与的情况比较简单，证明略。

特别地，有如下几种特殊情况：

平面上一点关于轴的对称点为：；

平面上一点关于轴的对称点为：；

平面上一点关于直线的对称点为：；

平面上一点关于直线的对称点为：；

（5）平面上一点关于直线的对称点为：；

（6）平面上一点关于直线的对称点为：；

（7）平面上一点关于直线的对称点为：；

（8）平面上一点关于直线的对称点为：

特别地，点关于点的对称点为。

若直线与椭圆

有公共点，则有：

由定理２得：，解得：，即,

即,又，

故。

例２已知，求的取值范围。

解：由可得=1\*GB3①

令，，代入=1\*GB3①得：

又令，将，代入得：

即

关于的直线与关于的圆有公共点，

由推论２得：

解得：，即

例３若，且，（）

求的范围。

解：令，代入

并化简得：，即

又令，则有，即

关于的直线与关于的圆有公共点，

由定理２得：，解得

即

=1\*GB3①=2\*GB3②例４设满足方程组，若，试求的取值范围。

=1\*GB3①

=2\*GB3②

（1986年全国高中数学联赛试题）

解：由=2\*GB3②—=1\*GB3①得：，即，

由=1\*GB3①+=2\*GB3②得：

关于的直线与关于的圆有公共点。

由推论２得：

解得：

故的取值范围为。

四、解方程组及证明不等式

例１已知：求证：

证明：设，有，

关于的直线与关于的圆有公共点。

由定理2得：

解得：，即

例２实数，且，求证。

证明：设，有，

关于的直线与关于的圆有公共点。

由推论２得：

又所以有

故，即

例３且满足=1\*GB3①=2\*GB3②，

证明都不是负数，也不能大于。（1957年北京市数学竞赛题）

证明：由=1\*GB3①得由=2\*GB3②得，

关于的直线与关于的圆有公共点。

由推论２得：

解得：，又，

故，同理，，所以，都不是负数，也不能大于。

例４已知且满足，

证明中至少有一个大于。（1991年“曙光杯”数学竞赛题）

证明：由知中至少有一个为正数，不妨设

又由得：=1\*GB3①

由得，代入=1\*GB3①得：

，即

关于的直线与关于的圆有公共点。

由定理２得：

解得：，即：=2\*GB3②

又，由=2\*GB3②得：，故

所以中至少有一个大于。

=2\*GB3②=1\*GB3①例５若中，三边为，且试确定的形状。

=2\*GB3②

=1\*GB3①

（1989年“缙云杯”数学邀请赛试题）

解：由=1\*GB3①２+=2\*GB3②得：

关于的直线与关于的圆有公共点。

由推论２得：

解得：，即，代入=1\*GB3①、=2\*GB3②得：

所以为等腰三角形。

=1\*G