偏微分方程讲义.pptVIP

例4，用古典显示格式求初边值问题的数值解，取h=1,τ=0.5.双曲型方程的差分解法可以使用下面的差分进行近似，上面的格式都是显格式。当然，也可以采用不同的格式组合得到其他的格式。这里不再讲解。2.3偏微分方程的Matlab求解工具PDEPE命令的使用方法及例子PDEPE（initial-boundaryvalueproblemsforparabolic-ellipticPDEsin1-D）是求解抛物线和椭圆型一维偏微分方程的命令。为求解这些类型的各种各样的问题，在求解方程的形式，初始条件以及边界条件上，PDEPE使用下面的统一结构。方程形式函数f用来描述“通量”，函数s用来描述“源”。0102边界条件为（可以通过取不同的函数，对应全部的三类边界条件。）初始条件为Matlab的命令格式为pdepe。M是参数，可以取0，1，2.pdefun是上面的函数f，icfun描述初始条件，bcfun描述边界条件，xmesh和tspan是x和t方向上的划分，options是选择项。下面的两个例子是matlab帮助文件中自带的例子，这里做一个详细的讲解。0102例子5，求偏微分方程其中x在[0,1]之间，且满足以下初边值条件步骤1：将欲求解的偏微分方程改写成如下的标准形式。步骤2:编写偏微分方程的系数向量函数。步骤3:编写起始值条件。步骤4:编写边界条件。在编写之前，先将边界条件改写成标准形式，找出相对应的函数pa()和pb()，然后写出MATLAB的边界条件函数，例如，原边界条件可写成function[c,f,s]=ex20_1pdefun(x,t,u,dudx)c=pi^2;f=dudx;s=0;functionu0=ex20_1ic(x)u0=sin(pi*x);12345因而，边界条件函数可编写成function[pa,qa,pb,qb]=ex20_1bc(xa,ua,xb,ub,t)pa=ua;qa=0;pb=pi*exp(-t);qb=1;步骤5:取点。例如x=linspace(0,1,20);%x取20点t=linspace(0,2,5);%时间取5点输出步骤6:利用pdepe求解。m=0;%依步骤1之结果sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t);%这里sol实际上是二维矩阵步骤7显示结果。surf(x,t,sol)title(pde数值解),xlabel(位置),ylabel(时间),zlabel(u)例6,试解以下联立的偏微分方程系统改写偏微分方程为标准形式其中m=0和初始条件:在x=0处在x=1处步骤2：编写偏微分方程的系数向量函数。function[c,f,s]=ex20_2pdefun(x,t,u,dudx)c=[11];f=[0.0240.170].*dudx;y=u(1)-u(2);F=exp(5.73*y)-exp(-11.47*y);s=[-FF];步骤3：编写初始条件函数functionu0=ex20_2ic(x)u0=[10];步骤4：编写边界条件函数function[pa,qa,pb,qb]=ex20_2bc(xa,ua,xb,ub,t)pa=[0ua(2)];qa=[10];pb=[ub(1)-10];qb=[01];步骤5：取点m=0;x=[00.0050.010.050.10.20.50.70.90.950.990.9951];t=[00.0050.010.050.10.511.52];%*************************************%利用pdepe求解%*************************************-382-sol=pdepe(m,@ex20_2pdefun,@ex20_2ic,@ex20_2bc,x,t);u1=sol(:,:,1);%第一个状态之数值解输出u2=sol(:,:,2);%第二个状态之数值解输出%*************************************%绘图输出%*************************************figure(1),surf(x,t