高三数学下学期圆锥曲线之定值问题-讲义（教师版）.pdf

圆锥曲线之定值问题

一、课堂目标

1.熟练使用联立法证明定值问题.

2.熟悉定值问题的各种变型.

二、直击高考

知识模块知识内容全国卷常见题型

圆锥曲线定值问题2018年全国卷1理19题解答

【备注】

定值问题有些时候不会直接以“证明某条件为定值”的形式直接考查，需要先通过问题转化进

而判断。本节课我们涉及的定值问题，主要是包含斜率和、斜率积或者含有字母系数的代

数式为定值的问题。

注意：圆锥曲线的题型汇总大多基于主观判断，各种题型之间从不同角度去看会存在交

集，比如求解弦长的问题，本质也是一种基础定值问题，我们分题型进行讲解，目的并不

是把圆锥曲线问题进行分类复杂化，而是利用各种题型之前的差异和求解共性，帮助学生

理解联立法在整个圆锥曲线中的贯穿式应用，所以在学生对题型分类有疑惑时，要给学生

梳理清楚我们的本质目的。

三、知识讲解

知识回顾

1

【备注】

知识回顾部分是对圆锥曲线常规知识点的复习提问，注意控制时长，不要超过15分钟。

方法提升

【定值问题命题模型说明】

定值问题是圆锥曲线各题型中考查最为多样化的题型，给定的条件和设问方式没有固定形式，但是在解

题中有固定的思路，在通过联立法得到根与系数关系之后，代入条件等式，通过条件等式得出结论对代

数式的定值进行判定，对于不含条件等式的题型，直接代入含参代数式，通过变形约去字母系数，从而

对代数式定值进行判定。

【备注】

定值问题因为多样性相比于其他题型更强一些，范围也更广，所以教学中心不要放到各类

型定值问题差异化对比上，教学中心应该是对联立法的共性应用。

【联立法解题步骤】（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理）

1、设点,;

2、设直线方程；

3、联立方程组；

4、判别式()；

5、韦达定理，；

6、根据具体条件，利用根据系数关系式对条件等式进行化简。

7、根据条件等式的化简结果对定值代数式进行判定。

【备注】

双曲线和抛物线相关公式，在联立法部分已经带学生总结过的老师，在这里可以做适当提

问，没有总结过的老师在此总结。

高考链接

1.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．

（1）当与轴垂直时，求直线的方程．

（2）设为坐标原点，证明：．

【备注】

需要先带学生进行逆向思维推导，两角相等等价于两终边所在直线的斜率和或者差为零，

进而让学生理解这道题本质是定值问题。

2

【答案】（1）或．

（2）证明见解析．

【解析】（1）根据题意可知，右焦点为，当与轴垂直时，则点的坐标为或

者，又因为，

所以当时，直线方程为．

所以当时，直线方程为．

（2）①当直线与轴垂直时，