向量的内积与施密特正交化过程.pptVIP

二次型二次型化标准型一.向量的内积与施密特正交化过程01引言：在几何空间，我们学过向量的长两向量夹角的概念，并由此定义两向量的数量积利用坐标分别有下面计算公式：设02（设0304则设05n维向量空间为了今后应用的需要，将这些概念及公式推广到n维向量。添加标题中任两个向量添加标题向量的内积定义1添加标题的内积定义为添加标题并称定义了内积的向量空间为欧氏空间（交换性）;当且仅当。以上证明留给读者。内积具有下列性质：k为数（性质(2)，(3)称单线性）（定义2设单击此处添加小标题称向量单击此处添加小标题，即为一单位向量。称将单击此处添加小标题设单击此处添加小标题的长度。长度为1的向量称单位向量。单击此处添加小标题单位化。向量的长度有下列性质：。当且仅当；齐次性：证略。非负性：柯西不等式：01；单击此处添加正文。02(3).三角不等式：以上性质证明留给读者。由柯西不等式得：由此可定义两非零向量的夹角：；或对于两非零向量010402050708添加标题当添加标题中只要有一个为零向量，必有添加标题时，称两向量正交。这里显然等价于添加标题因此可利用内积定义两向量正交。添加标题正交，记添加标题。030609添加标题又零向量与任何向量看作是正交的，且添加标题称添加标题定义3若因此可利用内积定义两向量正交。添加标题添加标题添加标题。定义4设向量组为两两正交的非零向量，称其为正交向量组。01如果正交向量组中。每个向量还是单位向量02量则称其为标准正交向量组或正交规范向03量组。如它们还是向量空间的基底则分别称04其为正交基或标准（规范）正交基。即正交05规范组（基）满足定理1设01为正交向量组，则02是线性无关的。03例1求与向量04都正交的向量集。05都正交的向量为06由07得齐次线性方程组08解：设与09CBA即为与解得都正交的向量集01添加标题施密特正交化方法02添加标题是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组03添加标题使其与04添加标题等价。05添加标题设06添加标题其作法分两步(1).正交化，令，，，……单击此处添加小标题是正交规范向量组，且单击此处添加小标题等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交化过程。（方法）单击此处添加小标题仍与单击此处添加小标题显然单击此处添加小标题单位化（规范化）：取用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。解：取例2设单位化得正交矩阵与正交变换定义5方阵A满足01则称A为正交矩阵。由定义不难得到：02A为正交矩阵03。04