专题06 圆中的重要模型-圆幂定理模型（解析版）.pdfVIP

专题06圆中的重要模型--圆幂定理模型

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

模型1.相交弦模型

条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。

ECEA

结论：CAEBDEÞÞEC×EDEB×EA。

EBED

12023··CD

例．（广东广州九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦

AB

经过点，且CD13，，两圆组成的圆环的面积是．

PPD4

【答案】36

ACOPOA△APC∽△DPB

【分析】连接，，，，先根据切线的性质定理和垂径定理证出PAPB，再证明，

BD

APCP

得到，代入数据求得APBP6，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解．

DPBP

ACOPOA

【详解】解：如图，连接，，，，

BD

POPAB222

∵大圆的弦与小圆相切于点，∴，∴，，

ABPAPBOAOPAP

∵CD13，PD4，∴PC1349，∵BACBDC，CB，∴△APC∽△DPB，

APCPAP9

∴，即，解得：APBP6（负值舍去），

DPBP4BP

22236

∴圆环的面积为：OAOPAP36，故答案为：．

【点睛】此题综合运用了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、圆环的面积公式，分别求

出大圆和小圆的半径是解题的关键．

22023··PTOTPAOAB

例．（江西景德镇九年级校考期末）如图，是⊙的切线，为切点，是割线，交⊙于、

CTDCD2AD3BD4PB

两点，与直径交于点．已知＝，＝，＝，那＝．

【答案】20.

ACBTATCADBTDTD=6BTPTAP2PB=x

【分析】连接，，，易证∆~∆，得到，易证：∆~∆，得：TPAPBP，设，

2

则AP=x+7，TP(x7)x，PD=x+4，根据勾股定理，即可求解.

ACBTAT